因式分解（分解因式）把一個多項式化為幾個最簡整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。在數學求根作圖方面有很廣泛的應用。十字相乘法拆項、添項法配方法應用因式定理換元法求根法圖象法主元法特殊值法待定係數法雙十字相乘法二次多項式因式分解多項式因式分解步驟幾道例題四個注意應用因式分解公式平方差公式完全平方公式立方和（差）立方公式高階結論方法基本方法 提公因式法 公式法 分解因式技巧競賽用到的方法 分組分解法 十字相乘法 拆項、添項法 配方法 應用因式定理 換元法 求根法 圖象法 主元法 特殊值法 待定係數法 雙十字相乘法 二次多項式因式分解多項式因式分解步驟幾道例題四個注意應用因式分解公式 平方差公式 完全平方公式 立方和（差）立方公式展開 定義 因式分解的定義和主要方法常規因式分解主要公式 定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解（也叫作分解因式）。 意義：它是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用。學習它，既可以複習的整式四則運算，又為學習分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、思維發展性、運算能力，又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。 分解因式與整式乘法為相反變形。 同時也是解一元二次方程中公式法的重要步驟編輯本段高階結論 在高等數學上因式分解有一些重要結論，在初等數學層面上證明很困難，但是理解很容易。 1 因式分解與解高次方程有密切的關係。對於一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對固定和容易的方法。在數學上可以證明，對於一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因為公式過於複雜，在非專業領域沒有介紹。對於分解因式，三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法，只是比較複雜。對於五次以上的一般多項式，已經證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。 2 所有的三次和三次以上多項式都可以因式分解。這看起來或許有點不可思議。比如X^4+1,這是一個一元四次多項式，看起來似乎不能因式分解。但是它的次數高於3，所以一定可以因式分解。如果有興趣，你也可以用待定係數法將其分解，只是分解出來的式子並不整潔。 3 因式分解雖然沒有固定方法，但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉相除法來求得。標準的輾轉相除技能對於中學生來說難度頗高，但是中學有時候要處理的多項式次數並不太高，所以反覆利用多項式的除法也可以比較笨，但是有效地解決找公因式的問題。編輯本段方法 因式分解沒有普遍的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，餘式定理法，求根公式法，換元法，長除法，短除法，除法等。 注意三原則 1．分解要徹底（是否有公因式，是否可用公式） 2．最後結果只有小括號 3．最後結果中多項式首項係數為正（例如：-3x^2+x=x(-3x+1）） 4．最後結果每一項都為最簡因式 歸納方法：北師大版八下課本上有的 1．提公因式法。 2．公式法。 3．分組分解法。 4．湊數法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)] 5．組合分解法。 6．十字相乘法。 7．雙十字相乘法。 8．配方法。 9．拆項補項法。 10．換元法。 11．長除法。 12．求根法。 13．圖象法。 14．主元法。 15．待定係數法。 16．特殊值法。 17．因式定理法。編輯本段基本方法提公因式法 各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式，公因式可以是單項式，也可以是多項式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式。 具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的。當各項的係數有分數時，公因式係數為各分數的最大公約數。如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的係數成為正數。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。 口訣：找準公因式，一次要提盡；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 注意：把2a+1/2變成2(a+1/4)不叫提公因式公式法 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。 平方差公式: (a+b)(a-b)=a²-b² 反過來為a²-b²=(a+b)(a-b) 完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b² 反過來為a²+2ab+b²=(a+b)² (a-b)²=a²-2ab+b² a²-2ab+b²=(a-b)² 注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。 兩根式：ax²+bx+c=a[x-(-b+√(b^2-4ac))/2a][x-(-b-√(b^2-4ac))/2a] 兩根式 立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)； 立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 完全立方公式：a³±3a³b+3ab²±b³=(a±b)³． 公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) 例如：a²+4ab+4b² =(a+2b)²。分解因式技巧 1．分解因式技巧掌握： ①分解因式是多項式的恆等變形，要求等式左邊必須是多項式 ②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示 ③每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數； ④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。 注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。 2．提公因式法基本步驟： （1）找出公因式 （2）提公因式並確定另一個因式： ①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數再確定字母 ②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式 ③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。編輯本段競賽用到的方法分組分解法 分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學習這個知識。 能分組分解的方程有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。 同樣，這道題也可以這樣做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 幾道例題： 1． 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 說明：係數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕鬆解出。 2． x³-x²+x-1 解法：=(x³-x²)+(x-1) =x²(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x²+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然後相合輕鬆解決。 3． x²-x-y²-y 相關公式解法：=(x²-y²)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a²-b²=(a+b)(a-b)，然後相合解決。十字相乘法 現在的教材降低難度，不用學。但學奧數的同學注意了，這個不會你就別考了！ 這種方法有兩種情況。 ①x²+﹙p+q﹚x+pq型的式子的因式分解 這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． 例1：x²-2x-8 =(x-4)(x+2) ②kx²+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時，那麼kx²+mx+n=(ax+c)(bx+d)． 圖示如下： 例2：(7x+2)(x-3)中a=1 b=7 c=2 d=-3 因為 -3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19， 所以=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中 例3：6X²+7X+2 第1項二次項（6X²）拆分為：2×3 第3項常數項（2）拆分為：1×2 2（X） 3（X） 1 2 對角相乘：1×3+2×2得第2項一次項（7X） ∴6X²+7X+6=（2X+1）（3X+2） 與之對應的還有雙十字相乘法，也可以學一學。拆項、添項法 這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)．配方法 對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。 例如：x²+3x-40 =x²+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)²-(6.5)² =(x+8)(x-5)．應用因式定理 對於多項式f(x)，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a． 例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x²+5x+6的一個因式。(事實上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．) 注意：1、對於係數全部是整數的多項式，若X=q/p（p,q為互質整數時）該多項式值為零，則q為常數項約數，p最高次項係數約數 2．對於多項式f(a)=0,b為最高次項係數，c為常數項，則有a為c/b約數換元法 有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。注意：換元后勿忘還元。 例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時，可以令y=x²+x,則 原式=(y+1)(y+2)-12 =y²+3y+2-12=y²+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x²+x+5)(x²+x-2) =(x²+x+5)(x+2)(x-1)． 也可以參看右圖。求根法 令多項式f(x)=0,求出其根為x¹，x²，x³，……xn，則該多項式可分解為f(x)=a(x-x¹)(x-x²)(x-x³)……(x-xn) ． 例如在分解2x^4+7x³-2x²-13x+6時，令2x^4 +7x³-2x²-13x+6=0， 則透過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1． 所以2x^4+7x³-2x²-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．圖象法 令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式影象與X軸的交點x¹,x²,x³,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=a(x-x¹)(x-x²)(x-x³)……(x-xn)． 與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。 例如在分解x³ +2x²-5x-6時，可以令y=x³; +2x² -5x-6. 作出其影象，與x軸交點為-3，-1，2 則x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．主元法 先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。特殊值法 將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。 例如在分解x³+9x²+23x+15時，令x=2，則 x³ +9x²+23x+15=8+36+46+15=105， 將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 ． 注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值， 則x³+9x²+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。待定係數法 首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。 例如在分解x^4-x³-5x²-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。 於是設x^4-x³-5x²-6x-4=(x²+ax+b)(x²+cx+d) 相關公式=x^4+(a+c)x³+(ac+b+d)x²+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4． 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4． 則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)． 也可以參看右圖。雙十字相乘法 雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。 雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始的式子如下： ax²+bxy+cy²+dx+ey+f x、y為未知數，其餘都是常數 用一道例題來說明如何使用。 例：分解因式：x²+5xy+6y²+8x+18y+12． 分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。 解：圖如下，把所有的數字交叉相連即可 x 2y 2 x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 雙十字相乘法其步驟為： ①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中x²+5xy+6y²=(x+2y)(x+3y) ②先依一個字母（如y）的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6) ③再按另一個字母（如x）的一次係數進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。二次多項式因式分解 （根與係數關係二次多項式因式分解） 例：對於二次多項式 aX²+bX+c(a≠0) aX²+bX+c=a[X²+(b/a)X+(c/a)X]. 當△=b²-4ac≥0時， =a(X²-X1-X²+X¹X²) =a(X-X¹)(X-X²).編輯本段多項式因式分解步驟 ①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式； ②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解； ③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解 ④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。 也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要相對合適。”編輯本段幾道例題 1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（補項） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求證：對於任何實數x,y，下式的值都不會為33： x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． 當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。 3．．△ABC的三邊a、b、c有如下關係式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。 分析：此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。 證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三條邊， ∴a+2b+c>0． ∴a－c=0， 即a=c，△ABC為等腰三角形。 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．編輯本段四個注意 因式分解中的四個注意，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括號裡面分到“底”。現舉下例 可供參考 例1 把－2a－2b+2ab+4分解因式。 解：－2a－2b+2ab+4=－（2a－2ab+2b－4）=－（a－b+2）（a－b－2） 這裡的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內第一項係數是正的。防止學生出現諸如－9x2+4y2=（－3x）2－（2y）2=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的錯誤 例2把－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1=－6xnyn－1（2xny－3x2y2+1） 這裡的“公”指“公因式”。如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；這裡的“1”，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括號內切勿漏掉1。 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“乾淨”，不留“尾巴”，並使每一個括號內的多項式都不能再分解。防止學生出現諸如4x4y2－5x2y2－9y2=2y（4x4－5x2－9）=2y（2x+1）（4x2－9）的錯誤。 考試時應注意： 在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了，有說明實數的話，一般就要化到實數！ 由此看來，因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”等是一脈相承的。編輯本段應用 1． 應用於多項式除法。 2． 應用於高次方程的求根。 3． 應用於分式的通分與約分 順帶一提，梅森合數分解已經取得一些微不足道的進展： 1，p=4r+3，如果8r+7也是素數，則：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1） .例如： 23|(2^11-1);；11=4×2+3 47|(2^23-1);；23=4×5+3 167|(2^83-1);,,,.83=4×20+3 。。 2,，p=2^n×3^2+1,，則（6p+1）|(2^P-1)， 例如：223|(2^37-1);；37=2×2×3×3+1 439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3+1 3463|(2^577-1);；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1 ，，，。 3，p=2^n×3^m×5^s-1,則（8p+1）|（2^P-1） .例如；233|(2^29-1)；29=2×3×5-1 ;1433|(2^179-1)；179=2×2×3×3×5-1 1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1 ，，，。編輯本段因式分解公式平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2完全平方公式 (a+b)^2=a^2+2ab+b^;2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2立方和（差）立方公式 兩數差乘以它們的平方和與它們的積的和等於兩數的立方差。 即a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 證明如下： a^3-b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 所以a^3-b^3=（a-b）a^3-[-3(a^2)b+3ab^2]=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b) =(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)
因式分解（分解因式）把一個多項式化為幾個最簡整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。在數學求根作圖方面有很廣泛的應用。十字相乘法拆項、添項法配方法應用因式定理換元法求根法圖象法主元法特殊值法待定係數法雙十字相乘法二次多項式因式分解多項式因式分解步驟幾道例題四個注意應用因式分解公式平方差公式完全平方公式立方和（差）立方公式高階結論方法基本方法 提公因式法 公式法 分解因式技巧競賽用到的方法 分組分解法 十字相乘法 拆項、添項法 配方法 應用因式定理 換元法 求根法 圖象法 主元法 特殊值法 待定係數法 雙十字相乘法 二次多項式因式分解多項式因式分解步驟幾道例題四個注意應用因式分解公式 平方差公式 完全平方公式 立方和（差）立方公式展開 定義 因式分解的定義和主要方法常規因式分解主要公式 定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解（也叫作分解因式）。 意義：它是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用。學習它，既可以複習的整式四則運算，又為學習分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、思維發展性、運算能力，又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。 分解因式與整式乘法為相反變形。 同時也是解一元二次方程中公式法的重要步驟編輯本段高階結論 在高等數學上因式分解有一些重要結論，在初等數學層面上證明很困難，但是理解很容易。 1 因式分解與解高次方程有密切的關係。對於一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對固定和容易的方法。在數學上可以證明，對於一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因為公式過於複雜，在非專業領域沒有介紹。對於分解因式，三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法，只是比較複雜。對於五次以上的一般多項式，已經證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。 2 所有的三次和三次以上多項式都可以因式分解。這看起來或許有點不可思議。比如X^4+1,這是一個一元四次多項式，看起來似乎不能因式分解。但是它的次數高於3，所以一定可以因式分解。如果有興趣，你也可以用待定係數法將其分解，只是分解出來的式子並不整潔。 3 因式分解雖然沒有固定方法，但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉相除法來求得。標準的輾轉相除技能對於中學生來說難度頗高，但是中學有時候要處理的多項式次數並不太高，所以反覆利用多項式的除法也可以比較笨，但是有效地解決找公因式的問題。編輯本段方法 因式分解沒有普遍的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，餘式定理法，求根公式法，換元法，長除法，短除法，除法等。 注意三原則 1．分解要徹底（是否有公因式，是否可用公式） 2．最後結果只有小括號 3．最後結果中多項式首項係數為正（例如：-3x^2+x=x(-3x+1）） 4．最後結果每一項都為最簡因式 歸納方法：北師大版八下課本上有的 1．提公因式法。 2．公式法。 3．分組分解法。 4．湊數法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)] 5．組合分解法。 6．十字相乘法。 7．雙十字相乘法。 8．配方法。 9．拆項補項法。 10．換元法。 11．長除法。 12．求根法。 13．圖象法。 14．主元法。 15．待定係數法。 16．特殊值法。 17．因式定理法。編輯本段基本方法提公因式法 各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式，公因式可以是單項式，也可以是多項式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式。 具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的。當各項的係數有分數時，公因式係數為各分數的最大公約數。如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的係數成為正數。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。 口訣：找準公因式，一次要提盡；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 注意：把2a+1/2變成2(a+1/4)不叫提公因式公式法 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。 平方差公式: (a+b)(a-b)=a²-b² 反過來為a²-b²=(a+b)(a-b) 完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b² 反過來為a²+2ab+b²=(a+b)² (a-b)²=a²-2ab+b² a²-2ab+b²=(a-b)² 注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。 兩根式：ax²+bx+c=a[x-(-b+√(b^2-4ac))/2a][x-(-b-√(b^2-4ac))/2a] 兩根式 立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)； 立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 完全立方公式：a³±3a³b+3ab²±b³=(a±b)³． 公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) 例如：a²+4ab+4b² =(a+2b)²。分解因式技巧 1．分解因式技巧掌握： ①分解因式是多項式的恆等變形，要求等式左邊必須是多項式 ②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示 ③每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數； ④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。 注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。 2．提公因式法基本步驟： （1）找出公因式 （2）提公因式並確定另一個因式： ①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數再確定字母 ②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式 ③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。編輯本段競賽用到的方法分組分解法 分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學習這個知識。 能分組分解的方程有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。 同樣，這道題也可以這樣做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 幾道例題： 1． 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 說明：係數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕鬆解出。 2． x³-x²+x-1 解法：=(x³-x²)+(x-1) =x²(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x²+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然後相合輕鬆解決。 3． x²-x-y²-y 相關公式解法：=(x²-y²)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a²-b²=(a+b)(a-b)，然後相合解決。十字相乘法 現在的教材降低難度，不用學。但學奧數的同學注意了，這個不會你就別考了！ 這種方法有兩種情況。 ①x²+﹙p+q﹚x+pq型的式子的因式分解 這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． 例1：x²-2x-8 =(x-4)(x+2) ②kx²+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時，那麼kx²+mx+n=(ax+c)(bx+d)． 圖示如下： 例2：(7x+2)(x-3)中a=1 b=7 c=2 d=-3 因為 -3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19， 所以=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中 例3：6X²+7X+2 第1項二次項（6X²）拆分為：2×3 第3項常數項（2）拆分為：1×2 2（X） 3（X） 1 2 對角相乘：1×3+2×2得第2項一次項（7X） ∴6X²+7X+6=（2X+1）（3X+2） 與之對應的還有雙十字相乘法，也可以學一學。拆項、添項法 這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)．配方法 對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。 例如：x²+3x-40 =x²+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)²-(6.5)² =(x+8)(x-5)．應用因式定理 對於多項式f(x)，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a． 例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x²+5x+6的一個因式。(事實上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．) 注意：1、對於係數全部是整數的多項式，若X=q/p（p,q為互質整數時）該多項式值為零，則q為常數項約數，p最高次項係數約數 2．對於多項式f(a)=0,b為最高次項係數，c為常數項，則有a為c/b約數換元法 有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。注意：換元后勿忘還元。 例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時，可以令y=x²+x,則 原式=(y+1)(y+2)-12 =y²+3y+2-12=y²+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x²+x+5)(x²+x-2) =(x²+x+5)(x+2)(x-1)． 也可以參看右圖。求根法 令多項式f(x)=0,求出其根為x¹，x²，x³，……xn，則該多項式可分解為f(x)=a(x-x¹)(x-x²)(x-x³)……(x-xn) ． 例如在分解2x^4+7x³-2x²-13x+6時，令2x^4 +7x³-2x²-13x+6=0， 則透過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1． 所以2x^4+7x³-2x²-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．圖象法 令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式影象與X軸的交點x¹,x²,x³,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=a(x-x¹)(x-x²)(x-x³)……(x-xn)． 與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。 例如在分解x³ +2x²-5x-6時，可以令y=x³; +2x² -5x-6. 作出其影象，與x軸交點為-3，-1，2 則x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．主元法 先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。特殊值法 將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。 例如在分解x³+9x²+23x+15時，令x=2，則 x³ +9x²+23x+15=8+36+46+15=105， 將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 ． 注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值， 則x³+9x²+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。待定係數法 首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。 例如在分解x^4-x³-5x²-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。 於是設x^4-x³-5x²-6x-4=(x²+ax+b)(x²+cx+d) 相關公式=x^4+(a+c)x³+(ac+b+d)x²+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4． 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4． 則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)． 也可以參看右圖。雙十字相乘法 雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。 雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始的式子如下： ax²+bxy+cy²+dx+ey+f x、y為未知數，其餘都是常數 用一道例題來說明如何使用。 例：分解因式：x²+5xy+6y²+8x+18y+12． 分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。 解：圖如下，把所有的數字交叉相連即可 x 2y 2 x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 雙十字相乘法其步驟為： ①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中x²+5xy+6y²=(x+2y)(x+3y) ②先依一個字母（如y）的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6) ③再按另一個字母（如x）的一次係數進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。二次多項式因式分解 （根與係數關係二次多項式因式分解） 例：對於二次多項式 aX²+bX+c(a≠0) aX²+bX+c=a[X²+(b/a)X+(c/a)X]. 當△=b²-4ac≥0時， =a(X²-X1-X²+X¹X²) =a(X-X¹)(X-X²).編輯本段多項式因式分解步驟 ①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式； ②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解； ③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解 ④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。 也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要相對合適。”編輯本段幾道例題 1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（補項） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求證：對於任何實數x,y，下式的值都不會為33： x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． 當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。 3．．△ABC的三邊a、b、c有如下關係式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。 分析：此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。 證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三條邊， ∴a+2b+c>0． ∴a－c=0， 即a=c，△ABC為等腰三角形。 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．編輯本段四個注意 因式分解中的四個注意，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括號裡面分到“底”。現舉下例 可供參考 例1 把－2a－2b+2ab+4分解因式。 解：－2a－2b+2ab+4=－（2a－2ab+2b－4）=－（a－b+2）（a－b－2） 這裡的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內第一項係數是正的。防止學生出現諸如－9x2+4y2=（－3x）2－（2y）2=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的錯誤 例2把－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1=－6xnyn－1（2xny－3x2y2+1） 這裡的“公”指“公因式”。如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；這裡的“1”，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括號內切勿漏掉1。 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“乾淨”，不留“尾巴”，並使每一個括號內的多項式都不能再分解。防止學生出現諸如4x4y2－5x2y2－9y2=2y（4x4－5x2－9）=2y（2x+1）（4x2－9）的錯誤。 考試時應注意： 在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了，有說明實數的話，一般就要化到實數！ 由此看來，因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”等是一脈相承的。編輯本段應用 1． 應用於多項式除法。 2． 應用於高次方程的求根。 3． 應用於分式的通分與約分 順帶一提，梅森合數分解已經取得一些微不足道的進展： 1，p=4r+3，如果8r+7也是素數，則：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1） .例如： 23|(2^11-1);；11=4×2+3 47|(2^23-1);；23=4×5+3 167|(2^83-1);,,,.83=4×20+3 。。 2,，p=2^n×3^2+1,，則（6p+1）|(2^P-1)， 例如：223|(2^37-1);；37=2×2×3×3+1 439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3+1 3463|(2^577-1);；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1 ，，，。 3，p=2^n×3^m×5^s-1,則（8p+1）|（2^P-1） .例如；233|(2^29-1)；29=2×3×5-1 ;1433|(2^179-1)；179=2×2×3×3×5-1 1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1 ，，，。編輯本段因式分解公式平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2完全平方公式 (a+b)^2=a^2+2ab+b^;2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2立方和（差）立方公式 兩數差乘以它們的平方和與它們的積的和等於兩數的立方差。 即a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 證明如下： a^3-b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 所以a^3-b^3=（a-b）a^3-[-3(a^2)b+3ab^2]=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b) =(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)