首先直觀上一定是不行的,因為如果任何有界數列都可以這樣操作之後給出一個極限,那麼相當於是構造性地給出了一個 上平移不變的連續線性泛函,延拓了取極限泛函,通常叫做Banach limit. 可是我們常規的方法,無論是用Hahn-Banach還是用ultrafilter去做,都是極度非構造的。試想如果存在一個構造性的延拓那誰還會用那些摸不著的東西呢?這裡我相信是有嚴格證明的,但肯定要涉及一些集合論的東西我也懶得查了,反正是直觀嘛。
不過具體給出一個不能收斂的數列還是蠻有趣的。沿用題主的記號,第i次得到的數列的第n項記為 . 我們先聲稱這樣一個命題,任給 ,都存在一個正整數,使得只要數列 滿足:n=1,2,...,k時, ;n=k+1,...,k+N時, ,就有 .
簡單來說,我們知道任何一次操作之後的第n項都只跟原始數列的前n項有關。那麼不管前k項是什麼只要有界,就能夠在後面續上N個a,使得給定的第i次操作後對應的第N+k項和a很接近。如果這個命題是對的,那麼構造就很簡單了,就是不斷地先續很多的0上去,再續更多的1上去,交替進行,保證第 次續0的時候前 個均值數列各新出現至少一個約等於0的項,續1也是一樣。這樣每個構造的數列都出現了無窮多次01交替的現象,就不可能收斂了。以上。
首先直觀上一定是不行的,因為如果任何有界數列都可以這樣操作之後給出一個極限,那麼相當於是構造性地給出了一個 上平移不變的連續線性泛函,延拓了取極限泛函,通常叫做Banach limit. 可是我們常規的方法,無論是用Hahn-Banach還是用ultrafilter去做,都是極度非構造的。試想如果存在一個構造性的延拓那誰還會用那些摸不著的東西呢?這裡我相信是有嚴格證明的,但肯定要涉及一些集合論的東西我也懶得查了,反正是直觀嘛。
不過具體給出一個不能收斂的數列還是蠻有趣的。沿用題主的記號,第i次得到的數列的第n項記為 . 我們先聲稱這樣一個命題,任給 ,都存在一個正整數,使得只要數列 滿足:n=1,2,...,k時, ;n=k+1,...,k+N時, ,就有 .
簡單來說,我們知道任何一次操作之後的第n項都只跟原始數列的前n項有關。那麼不管前k項是什麼只要有界,就能夠在後面續上N個a,使得給定的第i次操作後對應的第N+k項和a很接近。如果這個命題是對的,那麼構造就很簡單了,就是不斷地先續很多的0上去,再續更多的1上去,交替進行,保證第 次續0的時候前 個均值數列各新出現至少一個約等於0的項,續1也是一樣。這樣每個構造的數列都出現了無窮多次01交替的現象,就不可能收斂了。以上。