首先直觀上一定是不行的，因為如果任何有界數列都可以這樣操作之後給出一個極限，那麼相當於是構造性地給出了一個 上平移不變的連續線性泛函，延拓了取極限泛函，通常叫做Banach limit. 可是我們常規的方法，無論是用Hahn-Banach還是用ultrafilter去做，都是極度非構造的。試想如果存在一個構造性的延拓那誰還會用那些摸不著的東西呢？這裡我相信是有嚴格證明的，但肯定要涉及一些集合論的東西我也懶得查了，反正是直觀嘛。
不過具體給出一個不能收斂的數列還是蠻有趣的。沿用題主的記號，第i次得到的數列的第n項記為 . 我們先聲稱這樣一個命題，任給 ，都存在一個正整數，使得只要數列 滿足：n=1,2,...,k時， ；n=k+1,...,k+N時， ，就有 .
簡單來說，我們知道任何一次操作之後的第n項都只跟原始數列的前n項有關。那麼不管前k項是什麼只要有界，就能夠在後面續上N個a，使得給定的第i次操作後對應的第N+k項和a很接近。如果這個命題是對的，那麼構造就很簡單了，就是不斷地先續很多的0上去，再續更多的1上去，交替進行，保證第 次續0的時候前 個均值數列各新出現至少一個約等於0的項，續1也是一樣。這樣每個構造的數列都出現了無窮多次01交替的現象，就不可能收斂了。以上。
首先直觀上一定是不行的，因為如果任何有界數列都可以這樣操作之後給出一個極限，那麼相當於是構造性地給出了一個 上平移不變的連續線性泛函，延拓了取極限泛函，通常叫做Banach limit. 可是我們常規的方法，無論是用Hahn-Banach還是用ultrafilter去做，都是極度非構造的。試想如果存在一個構造性的延拓那誰還會用那些摸不著的東西呢？這裡我相信是有嚴格證明的，但肯定要涉及一些集合論的東西我也懶得查了，反正是直觀嘛。
不過具體給出一個不能收斂的數列還是蠻有趣的。沿用題主的記號，第i次得到的數列的第n項記為 . 我們先聲稱這樣一個命題，任給 ，都存在一個正整數，使得只要數列 滿足：n=1,2,...,k時， ；n=k+1,...,k+N時， ，就有 .
簡單來說，我們知道任何一次操作之後的第n項都只跟原始數列的前n項有關。那麼不管前k項是什麼只要有界，就能夠在後面續上N個a，使得給定的第i次操作後對應的第N+k項和a很接近。如果這個命題是對的，那麼構造就很簡單了，就是不斷地先續很多的0上去，再續更多的1上去，交替進行，保證第 次續0的時候前 個均值數列各新出現至少一個約等於0的項，續1也是一樣。這樣每個構造的數列都出現了無窮多次01交替的現象，就不可能收斂了。以上。