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    4.1 聯絡

    如果在實數域或複數域上距離空間是完備的,該空間被稱為完備距離空間。實數域或複數域上的完備線性賦範空間被稱為巴拿赫空間。內積空間是特殊的線性賦範空間,而完備的內積空間被稱為希爾伯特空間,其上的範數由一個內積匯出。

    線上性空間中賦以“範數”,然後在範數的基礎上匯出距離,即線性賦範空間,完備的線性賦範空間稱為巴拿赫空間。範數可以看出長度,線性賦範空間相當於定義了長度的空間,所有的線性賦範空間都是距離空間。

    以有限維空間來說,向量的範數相當於向量的模的長度。但是在有限維歐式空間中還有一個很重要的概念-向量的夾角,特別是兩個向量的正交。內積空間是特殊的線性賦範空間,在這類空間中可以引入正交的概念以及投影的概念,從而在內積空間中建立起相應的幾何學。用內積匯出的範數來定義距離,Banach空間就成為了希爾伯特空間。

    4.2 區別

    在距離空間中透過距離的概念引入了點列的極限,但是隻有距離結構、沒有代數結構的空間,在應用過程中受到限制。線性賦範空間和內積空間就是距離結構與代數結構相結合的產物,較距離空間有很大的優越性。

    線性賦範空間就是線上性空間中,給向量賦予範數,即規定了向量的長度,而沒有給出向量的夾角。

    在內積空間中,向量不僅有長度,兩個向量之間還有夾角。特別是定義了正交的概念,有無正交性概念是賦範線性空間與內積空間的本質區別。任何內積空間都是線性賦範空間,但線性賦範空間未必是內積空間。

    線性賦範空間X成為內積空間的充要條件是:範數‖.‖對於一切屬於X的x,y,滿足

    ‖x+y‖2+‖x-y‖2=2‖x‖2+2‖y‖2 (3-3)

    上式(3-3)被稱為平行四邊形公式或中線公式。

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