數學史系列之一：數的概念
1、數字是什麼？
數學最初是用來回答"多少"這樣一類問題的。人類從最遠古的矇昧時代開始，就已經有了原始的"數覺"，但那隻不過是對於"一"和"多"的區分和意識。我寧願用"意識"，而不用"數覺"這個詞。因為，其實沒有"數覺"這樣一回事。
人類的感覺，都有專門的感覺器官，比如，眼睛是"視覺"的器官；耳朵是"聽覺"的器官等等，但是我們並沒有專門的"數覺"器官。所以，並不存在"數覺"這樣一種感覺。甚至於對數的直覺，也幾乎不存在。心理學家和人類學家曾經對現代人和原始民族進行過研究，得到的結論是，現代人的視數覺不超過四，原始民族要麼沒有數的知覺，要麼也不會超過四。這是因為，計數是一種思維過程，數字是人們給於"數"的一個概念。
弗雷格說道："數既不能被想象為獨立的物件，也不能被想象為外在事物的性質，因為數既不是某種可感覺的東西，也不是外在事物的性質"，數的給出包含著對一個概念的表達。"思維以其最簡單的形式告訴你一個東西是什麼，它給事物以名稱。思維給出的是概念，因為思維就是理解和判斷。"因此，數字就是人們給於數量的一個名稱，它是一種概念的表達。所以，數字是很少的。當文字發明了以後，人們用來表示數字的文字或符號，最多不超過六十個。倒是有許多不同的詞用來表達一些專有的集合，比如漢語中有"一堆"，"一群"，"一幫"，"一套"，"一束"，分別用於不同的物件；甚至對於一些常見的事物，數量"一"也有專門的詞語，比如，"一匹"只能用於指稱"馬"，"一頭"可以指稱所有的大型動物，比如牛、羊、豬等，但是對於雞、鴨以及所有的鳥類、昆蟲甚至老虎等野生動物，都只能用"一隻"來指稱。從原始時代一直到現代，馬、豬、牛一直都是與人類生活最密切相關的動物，所以有專門量詞，這反映了數的概念是與人們的生活經驗密切相關的。
從具體事物的多寡，到抽象的數的概念，人類經歷了非常漫長的歲月。羅素說道："不知道要經過多少年，人類才發現一對錦雞和兩天是數字二的例子。"直到現在，在大部分的語言裡，還有不少的詞用來表達"二"這個概念，比如漢語裡有：雙，對，偶，兩，倆，副，復，又，再，朋，等等。可以相信，在人類學會計數的方法之前，一定發明了許多表達具體事物多寡的概念。"正是計數，才使具體的、不同質的的表達多寡的概念結合為統一的抽象的數概念。"
2、計數法和計數工具
數的概念形成的時間已經非常古老了，而計數的方法，也同樣產生於遙遠的矇昧時期。最早的計數工具是手指，因為手是人類最方便的勞動工具。亞里士多德認為，我們之所以採用十進位制計數法，就是因為我們每個人生來就有十個手指這樣一個自然的事實。丹齊克甚至認為："人類在計算方面之所以成功，應當歸功於十指分明。就是這些手指，才教會人類計數，從而把數的範圍無限擴大開來。如果沒有這套裝置，人類對於數的技巧就不會比原始的數覺高出多少。"[ 丹齊克《數的發展史》P.8。丹齊克的論斷犯了一個邏輯錯誤，因為"人類"這個概念之下就是意味著人是有手的，當 然也就有十個手指。 手指曾經充當計數工具，但不能說沒有這個工具，人類就發展不了數學。]
用手指計數到現在還是幼兒剛開始學習算術時最常用的方法。成年人在推算日期是偶爾也會使用。隨著計算器和智慧手機的普及，這種最原始而古老的計數方法，終將會被淘汰。但是，這是人類最本能的計數方法，所以在幼兒的學習過程中始終能夠看到它們存在的影子。就在幾個世紀之前，屈指計數在歐洲還非常的盛行，1520年出版的一本算術教科書上還包含了手算的方法和表示數字的各種手型圖。 [ 參見丹齊克《數的發展史》P.9。]
屈指計數雖然方便，但能夠計算的數目有限，於是又產生了石子計數、結繩計數、刻痕計數等等的方法。有文獻或考古依據的最早的計數方法是結繩計數。中國古代文獻《周易▪繫辭下》記載："上古結繩而治，後世聖人，易之以書契。"結繩而治，就是結繩記事或結繩記數；書契是刻畫字元，也就是刻痕計數的一種方法。
結繩計數的方法曾經在世界各地廣泛地存在。美國紐約的自然史博物館收藏有一件古代南美印加部落用來記事的繩結，印加人稱之為基普(quipu)。用基普記數在秘魯高原一直盛行到十九世紀。至今在一些原始部落，還有結繩記事方法的留存。
在美素不達米亞的考古發掘中，發現了一種陶籌計數的工具。陶籌是用陶土做成的不同形狀的籌碼，有圓形的，錐形的，還有其它一些形狀，並且有大小不同的分別。每一種形狀陶籌的數量表示某一種物體的數量。後來還把一定數量的陶籌封裝到空心的封球內，同時在封球表面印上封印，用於交接或標識所有權。
在荷馬史詩裡有這樣一個故事：當俄底修斯刺瞎獨眼巨人波呂斐摩斯並離開庫克羅普斯國以後，那個不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨羊群外出吃草，每出來一隻，他就從一堆石子中撿起一顆石子。晚上，羊群返回山洞，每進去一隻，他就從早晨撿起的石子中扔掉一顆石子。當他把早晨撿起的石子都扔光時，他就確信所有的羊都返回了山洞。
波呂斐摩斯的故事是利用一一對應的概念作為計數根據的最早的文字記錄之一。不管用什麼方法或工具，一一對應是計數的基本原理，一個數字對應一個擬計數的物件，按自然數的序列數下去，最後的一個數字，就是計數的結果。這是計數的原理，也是加法的原理。
計數的方法一直在發展，但是一一對應和累加是計數的基本原理。到了當代，各種各樣的電子計數器和條碼掃描器，已經是最常用的計數工具，但其基本原理和蘇美爾人的陶籌計數法並沒有本質上的區別。
數學史系列之一：數的概念
1、數字是什麼？
數學最初是用來回答"多少"這樣一類問題的。人類從最遠古的矇昧時代開始，就已經有了原始的"數覺"，但那隻不過是對於"一"和"多"的區分和意識。我寧願用"意識"，而不用"數覺"這個詞。因為，其實沒有"數覺"這樣一回事。
人類的感覺，都有專門的感覺器官，比如，眼睛是"視覺"的器官；耳朵是"聽覺"的器官等等，但是我們並沒有專門的"數覺"器官。所以，並不存在"數覺"這樣一種感覺。甚至於對數的直覺，也幾乎不存在。心理學家和人類學家曾經對現代人和原始民族進行過研究，得到的結論是，現代人的視數覺不超過四，原始民族要麼沒有數的知覺，要麼也不會超過四。這是因為，計數是一種思維過程，數字是人們給於"數"的一個概念。
弗雷格說道："數既不能被想象為獨立的物件，也不能被想象為外在事物的性質，因為數既不是某種可感覺的東西，也不是外在事物的性質"，數的給出包含著對一個概念的表達。"思維以其最簡單的形式告訴你一個東西是什麼，它給事物以名稱。思維給出的是概念，因為思維就是理解和判斷。"因此，數字就是人們給於數量的一個名稱，它是一種概念的表達。所以，數字是很少的。當文字發明了以後，人們用來表示數字的文字或符號，最多不超過六十個。倒是有許多不同的詞用來表達一些專有的集合，比如漢語中有"一堆"，"一群"，"一幫"，"一套"，"一束"，分別用於不同的物件；甚至對於一些常見的事物，數量"一"也有專門的詞語，比如，"一匹"只能用於指稱"馬"，"一頭"可以指稱所有的大型動物，比如牛、羊、豬等，但是對於雞、鴨以及所有的鳥類、昆蟲甚至老虎等野生動物，都只能用"一隻"來指稱。從原始時代一直到現代，馬、豬、牛一直都是與人類生活最密切相關的動物，所以有專門量詞，這反映了數的概念是與人們的生活經驗密切相關的。
從具體事物的多寡，到抽象的數的概念，人類經歷了非常漫長的歲月。羅素說道："不知道要經過多少年，人類才發現一對錦雞和兩天是數字二的例子。"直到現在，在大部分的語言裡，還有不少的詞用來表達"二"這個概念，比如漢語裡有：雙，對，偶，兩，倆，副，復，又，再，朋，等等。可以相信，在人類學會計數的方法之前，一定發明了許多表達具體事物多寡的概念。"正是計數，才使具體的、不同質的的表達多寡的概念結合為統一的抽象的數概念。"
2、計數法和計數工具
數的概念形成的時間已經非常古老了，而計數的方法，也同樣產生於遙遠的矇昧時期。最早的計數工具是手指，因為手是人類最方便的勞動工具。亞里士多德認為，我們之所以採用十進位制計數法，就是因為我們每個人生來就有十個手指這樣一個自然的事實。丹齊克甚至認為："人類在計算方面之所以成功，應當歸功於十指分明。就是這些手指，才教會人類計數，從而把數的範圍無限擴大開來。如果沒有這套裝置，人類對於數的技巧就不會比原始的數覺高出多少。"[ 丹齊克《數的發展史》P.8。丹齊克的論斷犯了一個邏輯錯誤，因為"人類"這個概念之下就是意味著人是有手的，當 然也就有十個手指。 手指曾經充當計數工具，但不能說沒有這個工具，人類就發展不了數學。]
用手指計數到現在還是幼兒剛開始學習算術時最常用的方法。成年人在推算日期是偶爾也會使用。隨著計算器和智慧手機的普及，這種最原始而古老的計數方法，終將會被淘汰。但是，這是人類最本能的計數方法，所以在幼兒的學習過程中始終能夠看到它們存在的影子。就在幾個世紀之前，屈指計數在歐洲還非常的盛行，1520年出版的一本算術教科書上還包含了手算的方法和表示數字的各種手型圖。 [ 參見丹齊克《數的發展史》P.9。]
屈指計數雖然方便，但能夠計算的數目有限，於是又產生了石子計數、結繩計數、刻痕計數等等的方法。有文獻或考古依據的最早的計數方法是結繩計數。中國古代文獻《周易▪繫辭下》記載："上古結繩而治，後世聖人，易之以書契。"結繩而治，就是結繩記事或結繩記數；書契是刻畫字元，也就是刻痕計數的一種方法。
結繩計數的方法曾經在世界各地廣泛地存在。美國紐約的自然史博物館收藏有一件古代南美印加部落用來記事的繩結，印加人稱之為基普(quipu)。用基普記數在秘魯高原一直盛行到十九世紀。至今在一些原始部落，還有結繩記事方法的留存。
在美素不達米亞的考古發掘中，發現了一種陶籌計數的工具。陶籌是用陶土做成的不同形狀的籌碼，有圓形的，錐形的，還有其它一些形狀，並且有大小不同的分別。每一種形狀陶籌的數量表示某一種物體的數量。後來還把一定數量的陶籌封裝到空心的封球內，同時在封球表面印上封印，用於交接或標識所有權。
在荷馬史詩裡有這樣一個故事：當俄底修斯刺瞎獨眼巨人波呂斐摩斯並離開庫克羅普斯國以後，那個不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨羊群外出吃草，每出來一隻，他就從一堆石子中撿起一顆石子。晚上，羊群返回山洞，每進去一隻，他就從早晨撿起的石子中扔掉一顆石子。當他把早晨撿起的石子都扔光時，他就確信所有的羊都返回了山洞。
波呂斐摩斯的故事是利用一一對應的概念作為計數根據的最早的文字記錄之一。不管用什麼方法或工具，一一對應是計數的基本原理，一個數字對應一個擬計數的物件，按自然數的序列數下去，最後的一個數字，就是計數的結果。這是計數的原理，也是加法的原理。
計數的方法一直在發展，但是一一對應和累加是計數的基本原理。到了當代，各種各樣的電子計數器和條碼掃描器，已經是最常用的計數工具，但其基本原理和蘇美爾人的陶籌計數法並沒有本質上的區別。