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  • 1 # 使用者2092391291245

    萬能公式推導sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)],(因為cos2(α)+sin2(α)=1)再把分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]然後用α/2代替α即可。同理可推導餘弦的萬能公式。正切的萬能公式可透過正弦比餘弦得到。三倍角公式推導tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]上下同除以cos3(α),得:tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)=3sinα-4sin3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]=4cos3(α)-3cosα即sin3α=3sinα-4sin3(α)cos3α=4cos3(α)-3cosα和差化積公式推導首先,我們知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb同理,若把兩式相減,就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb同理,兩式相減我們就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2這樣,我們就得到了積化和差的公式:cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2好,有了積化和差的四個公式以後,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式我們把上述四個公式中的a+b設為x,a-b設為y,那麼a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

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