在私人公司工作期間，三根手指受傷是屬於工傷。如果您與原公司有勞動合同，可以要求原單位為您申請工傷認定，然後鑑定工傷等級。根據鑑定結果來來確定賠償數額。如果您與公司沒有勞動合同，那麼您需要走勞動仲裁程式，確認您在原公司做過事情。

第一、發生工傷事件，先和廠里老板進行協商，同時去醫院治療，相關的醫療費用等證據保留好。廠裡協商不成，即可提起訴訟。以上提到材料如下:（一）工傷認定申請表；

（二）與用人單位存在勞動關係（包括事實勞動關係）的證明材料；

（三）醫療診斷證明或者職業病診斷證明書（或者職業病診斷鑑定書）

第二、在發生工傷當日起，在一年內向用人單位所在地統籌地區勞動保障行政部門提出工傷認定申請。

第三、證明公司與自己有勞動僱傭關係。準備的材料如下:考勤記錄、考勤表、工資銀行卡流水、勞動關係合同、人證準備。

第四、我們要清楚工傷需要賠償的專案。專案包括醫療費、住院伙食補助費、營養費、護理費等，申請傷殘等級鑑定，根據傷殘等級主張傷殘補助金等

企業如果正常為員工購買社保的話，是可以走工傷保險的。一般流程是：申請工傷鑑定，認定傷殘等級，保險理賠。但是問題中有提到是私人老闆，就不知道這個老闆有沒有按規定購買保險了。如果沒有，那就做司法鑑定，認定傷殘等級，由企業賠付。不過，要注意蒐集整理證據，主要需證明的是你確實在這家企業工作了，比如勞動合同、考勤記錄等。其次要證明你的傷確實是在工作中產生，醫院的醫療記錄等。如有必要，可以尋求法律援助。