蝴蝶定理 蝴蝶定理 蝴蝶定理最先是作為一個徵求證明的問題，刊載於1815年的一份通俗雜誌《男士日記》上。由於其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理內容：圓O中的弦PQ的中點M，任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ於X，Y，則M為XY之中點。 出現過許多優美奇特的解法，其中最早的，應首推霍納在職815年所給出的證法。至於初等數學的證法，在國外資料中，一般都認為是由一位中學教師斯特溫首先提出的，它給予出的是面積證法，其中應用了面積公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《數學教師》創刊號上，杜錫錄同志以《平面幾何中的名題及其妙解》為題，載文向國內介紹蝴蝶定理，從此蝴蝶定理在神州大地到處傳開。 這裡介紹一種較為簡便的初等數學證法。 證明：過圓心O作AD與B牟垂線，垂足為S、T，連線OX，OY，OM。SM。MT。 ∵△SMD∽△CMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC， ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M與O，T。Y。M均是四點共圓， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ∴XM=YM如圖1，橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M（o，r）（b＞r＞0）。 （Ⅰ）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點座標及離心率； （Ⅱ）直線y=kx交橢圓於兩點C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直線y=k2x交橢圓於兩點G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。 求證：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4) （Ⅲ）對於（Ⅱ）中的C，D，G，H，設CH交X軸於點P，GD交X軸於點Q。求證： | OP | = | OQ |。 （證明過程不考慮CH或GD垂直於X軸的情形） 2．解答：北京教育考試院招生考試辦公室專家在公佈的《2003年全國普通高等學校招生統一考試試題答案彙編》中給出的參考解答如下： （18）本小題主要考查直線與橢圓的基本知識，考查分析問題和解決問題的能力。滿分15分。 （Ⅰ）解：橢圓方程為x2/a2+(y-r)2/b2=1 焦點座標為（Ⅱ）證明：將直線CD的方程y=kx代入橢圓方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2， 整理，得 (b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0 根據韋達定理，得 x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)， 所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ① 將直線GH的方程y=k2x代入橢圓方程，同理可得x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ② 由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4) 所以結論成立。 （Ⅲ）證明：設點P（p，o），點Q（q，o）。 由C，P，H共線，得(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4 解得P=(k1-k2)x2x4/(k1x1-k2x4) 由D，Q，G共線，同理可得 q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3) 由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，變形得： x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4) 即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。 3．簡評 本小題主要考查直線與橢圓等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力。試題入門容易，第（Ⅰ）問考查橢圓方程、待定係數法、座標平移和橢圓性質：焦點座標、離心率、看圖說話即可解決問題，但考查的卻都是重點內容。 第（Ⅱ）問是典型的直線與橢圓的位置關係問題。待證式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4這樣的對稱式，式子結構對稱優美，和諧平衡，使人很容易聯想起一元二次方程根與係數關係的韋達定理，啟示了證明問題的思路。這裡用到了解析幾何最根本的思想和最根本的方法。解兩個聯立的二元二次方程組，用代入消元法得到一元二次方程，分離係數利用韋達定理給出關於x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表示式，再分別代入待證式兩邊運算即達到證明目的。證明的過程中，由兩個聯立方程組結構的相似性運用了“同理可得”，整個證明過程也令人賞心悅目，感受到了邏輯證明與表達的順暢、簡約的美的魅力。 第（Ⅲ）問證明中用到了三點共線的充要條件，用到了過兩點的直線的斜率公式，分別解出p，q以後，|OP|=|OQ|等價轉化成了p= -q（或p+q=0。）此時分析前提條件（Ⅱ）及待證結論p= -q，關鍵在於溝通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)與x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的聯絡。參考解答中的表述略去了一些變形的中間過程，使人不易看出溝通的線索，以及命題人變形的思路，因此讀者理解起來感到困難。如果將兩式做如下變形，則思路就顯然順暢自然。 設：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)為①式，兩邊同取倒數，得1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’ 設：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)為 ②式，兩邊同取倒數，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移項得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’ 將①’兩邊同乘以k1·k2，即得 k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 它與②’完全一樣。這裡利用兩式同時變形的方法可以較容易實現目的，有分析、有綜合，有思維，有運算。思路的選擇有賴於對式子特徵的觀察聯想。 綜觀這道題的題目特徵及解答過程，我們看到了用代數方程但方法處理幾何問題的作用與威力。 4．賞析： 上面我們看到，試題的結構及其解答都令人感到賞心悅目，至此，我們不禁要追問一句：試題是怎麼命製出來的？它的背景是什麼？它對我們的數學學習與教學、高三複習與備考有什麼啟示？ 關於圓，有一個有趣的定理： 蝴蝶定理 設AB是圓O的弦，M是AB的中點。過M作圓O的兩弦CD、EF，CF、DE分別交AB於H、G。則MH=MG。 這個定理畫出來的幾何圖，很像一隻翩翩飛舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（圖2）。 盯著試題的圖1仔細看，它像不像橢圓上翩翩飛舞的蝴蝶？ 像，而且像極了。試題的證明過程及結果告訴我們，橢圓中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法證明的。如果令橢圓的長軸，短軸相等，即a=b，則橢圓就變成了圓，橢圓中的蝴蝶定理就變成了圓上的蝴蝶定理，上面的證明一樣適用。由於橢圓也可以看作將一個圓經“壓縮變換”而得，故圓上的蝴蝶定理經“壓縮變換”也可以變成橢圓上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞橢圓，飛落高考數學花。”讀者諸君欣賞至此，是否體會到了數學命題幾何專家命制高考試題的“高招”及良苦用心？ [關於“橢圓上的蝴蝶”，張景中院士在其獻給中學生的禮物一書《數學家的眼光》“巧思妙解”一節中有著精妙的論述，有興趣的讀者請參閱該書P54-59]。 5．啟示 橢圓上的蝴蝶翩翩飛舞，飛落到了北京數學高考試題的百花（草）園，令人欣喜異常。它雖然有著競賽數學、仿射變換、數學名題的背景，然而這裡證明它，卻只用到了教科書裡反覆提到的三點共線問題和斜率公式，用到了解析幾何最基本的方法。高階中學課本《平面解析幾何》全一冊（必修）數處提到三點共線問題，如P13習題一第14題：已知三點A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求證：三點在一條直線上：P17練習4：證明：已知三點A、B、C，如果直線AB、AC的斜率相等，那麼這三點在同一條直線上；P27習題二第9題：證明三點A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一條直線上；P47複習參考題一第3題：用兩種方法證明：三點A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一條直線上。你看，課本上的練習、習題、複習參考題，反覆提到了三點共線的證明，並且強呼叫不同的方法來證明。為什麼？你（老師、學生）關注到了它嗎？ 實際上，三點共線的不同證明，可以把解析幾何第一章的重點基礎知識充分調動起來，組織起來。你可以用基本公式——平面上兩點間的距離公式 證明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以應用定比分點公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去證λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用過兩點的直線的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去證KAB=KAC；你還可以先建立直線AB的方程f(x,y)=0，然後驗證點C的座標適合直線AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直線AB的方程之後，利用點到直線的距離公式 證明dc-AB=0；你還可以計算△ABC的面積，去證S△ABC=0。你看，有五、六種方法可以解決同一個問題，當然難度有高有低。一題多解中選擇方法、最佳化方法也是能力（洞察、觀察）的體現，從比較中才可以鑑別方法的優劣。據說考試下來，有一些重點中學的尖子生對自己沒能解答出第（Ⅲ）問很懊悔，一些老師也說這個題目“運算量太大難以完成”！不知讀者諸君欣賞至此，能不能發現上述問題的癥結究竟發生在哪裡？北京市有許多重點中學的師生，對高中數學課本的習題不屑一顧，很少去鑽研教材中的例題、習題，去尋求與發現知識之間的內在聯絡，去總結解題的原則、思路與規律。各種各樣的複習資料，幾十套幾十套的各地模擬試卷，使高三學生跳進題海做得昏天黑地而難以自拔，這哪裡還談得上素質教育與培養能力？我們應當從欣賞“翩翩飛舞的橢圓蝴蝶”中去用心體會“精選題目充分利用題目的“營養”價值”在數學教學與複習中的重要作用，從而解放思想，勇敢大膽地摒棄“題海戰術”。而要使學生跳出題海，老師就必須首先跳入題海，“題海探珠”，感悟數學教育改革的真諦。——注重基礎、注重理解、注重聯絡、注重能力。
蝴蝶定理 蝴蝶定理 蝴蝶定理最先是作為一個徵求證明的問題，刊載於1815年的一份通俗雜誌《男士日記》上。由於其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理內容：圓O中的弦PQ的中點M，任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ於X，Y，則M為XY之中點。 出現過許多優美奇特的解法，其中最早的，應首推霍納在職815年所給出的證法。至於初等數學的證法，在國外資料中，一般都認為是由一位中學教師斯特溫首先提出的，它給予出的是面積證法，其中應用了面積公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《數學教師》創刊號上，杜錫錄同志以《平面幾何中的名題及其妙解》為題，載文向國內介紹蝴蝶定理，從此蝴蝶定理在神州大地到處傳開。 這裡介紹一種較為簡便的初等數學證法。 證明：過圓心O作AD與B牟垂線，垂足為S、T，連線OX，OY，OM。SM。MT。 ∵△SMD∽△CMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC， ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M與O，T。Y。M均是四點共圓， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ∴XM=YM如圖1，橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M（o，r）（b＞r＞0）。 （Ⅰ）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點座標及離心率； （Ⅱ）直線y=kx交橢圓於兩點C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直線y=k2x交橢圓於兩點G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。 求證：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4) （Ⅲ）對於（Ⅱ）中的C，D，G，H，設CH交X軸於點P，GD交X軸於點Q。求證： | OP | = | OQ |。 （證明過程不考慮CH或GD垂直於X軸的情形） 2．解答：北京教育考試院招生考試辦公室專家在公佈的《2003年全國普通高等學校招生統一考試試題答案彙編》中給出的參考解答如下： （18）本小題主要考查直線與橢圓的基本知識，考查分析問題和解決問題的能力。滿分15分。 （Ⅰ）解：橢圓方程為x2/a2+(y-r)2/b2=1 焦點座標為（Ⅱ）證明：將直線CD的方程y=kx代入橢圓方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2， 整理，得 (b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0 根據韋達定理，得 x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)， 所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ① 將直線GH的方程y=k2x代入橢圓方程，同理可得x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ② 由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4) 所以結論成立。 （Ⅲ）證明：設點P（p，o），點Q（q，o）。 由C，P，H共線，得(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4 解得P=(k1-k2)x2x4/(k1x1-k2x4) 由D，Q，G共線，同理可得 q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3) 由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，變形得： x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4) 即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。 3．簡評 本小題主要考查直線與橢圓等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力。試題入門容易，第（Ⅰ）問考查橢圓方程、待定係數法、座標平移和橢圓性質：焦點座標、離心率、看圖說話即可解決問題，但考查的卻都是重點內容。 第（Ⅱ）問是典型的直線與橢圓的位置關係問題。待證式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4這樣的對稱式，式子結構對稱優美，和諧平衡，使人很容易聯想起一元二次方程根與係數關係的韋達定理，啟示了證明問題的思路。這裡用到了解析幾何最根本的思想和最根本的方法。解兩個聯立的二元二次方程組，用代入消元法得到一元二次方程，分離係數利用韋達定理給出關於x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表示式，再分別代入待證式兩邊運算即達到證明目的。證明的過程中，由兩個聯立方程組結構的相似性運用了“同理可得”，整個證明過程也令人賞心悅目，感受到了邏輯證明與表達的順暢、簡約的美的魅力。 第（Ⅲ）問證明中用到了三點共線的充要條件，用到了過兩點的直線的斜率公式，分別解出p，q以後，|OP|=|OQ|等價轉化成了p= -q（或p+q=0。）此時分析前提條件（Ⅱ）及待證結論p= -q，關鍵在於溝通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)與x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的聯絡。參考解答中的表述略去了一些變形的中間過程，使人不易看出溝通的線索，以及命題人變形的思路，因此讀者理解起來感到困難。如果將兩式做如下變形，則思路就顯然順暢自然。 設：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)為①式，兩邊同取倒數，得1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’ 設：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)為 ②式，兩邊同取倒數，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移項得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’ 將①’兩邊同乘以k1·k2，即得 k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 它與②’完全一樣。這裡利用兩式同時變形的方法可以較容易實現目的，有分析、有綜合，有思維，有運算。思路的選擇有賴於對式子特徵的觀察聯想。 綜觀這道題的題目特徵及解答過程，我們看到了用代數方程但方法處理幾何問題的作用與威力。 4．賞析： 上面我們看到，試題的結構及其解答都令人感到賞心悅目，至此，我們不禁要追問一句：試題是怎麼命製出來的？它的背景是什麼？它對我們的數學學習與教學、高三複習與備考有什麼啟示？ 關於圓，有一個有趣的定理： 蝴蝶定理 設AB是圓O的弦，M是AB的中點。過M作圓O的兩弦CD、EF，CF、DE分別交AB於H、G。則MH=MG。 這個定理畫出來的幾何圖，很像一隻翩翩飛舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（圖2）。 盯著試題的圖1仔細看，它像不像橢圓上翩翩飛舞的蝴蝶？ 像，而且像極了。試題的證明過程及結果告訴我們，橢圓中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法證明的。如果令橢圓的長軸，短軸相等，即a=b，則橢圓就變成了圓，橢圓中的蝴蝶定理就變成了圓上的蝴蝶定理，上面的證明一樣適用。由於橢圓也可以看作將一個圓經“壓縮變換”而得，故圓上的蝴蝶定理經“壓縮變換”也可以變成橢圓上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞橢圓，飛落高考數學花。”讀者諸君欣賞至此，是否體會到了數學命題幾何專家命制高考試題的“高招”及良苦用心？ [關於“橢圓上的蝴蝶”，張景中院士在其獻給中學生的禮物一書《數學家的眼光》“巧思妙解”一節中有著精妙的論述，有興趣的讀者請參閱該書P54-59]。 5．啟示 橢圓上的蝴蝶翩翩飛舞，飛落到了北京數學高考試題的百花（草）園，令人欣喜異常。它雖然有著競賽數學、仿射變換、數學名題的背景，然而這裡證明它，卻只用到了教科書裡反覆提到的三點共線問題和斜率公式，用到了解析幾何最基本的方法。高階中學課本《平面解析幾何》全一冊（必修）數處提到三點共線問題，如P13習題一第14題：已知三點A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求證：三點在一條直線上：P17練習4：證明：已知三點A、B、C，如果直線AB、AC的斜率相等，那麼這三點在同一條直線上；P27習題二第9題：證明三點A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一條直線上；P47複習參考題一第3題：用兩種方法證明：三點A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一條直線上。你看，課本上的練習、習題、複習參考題，反覆提到了三點共線的證明，並且強呼叫不同的方法來證明。為什麼？你（老師、學生）關注到了它嗎？ 實際上，三點共線的不同證明，可以把解析幾何第一章的重點基礎知識充分調動起來，組織起來。你可以用基本公式——平面上兩點間的距離公式 證明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以應用定比分點公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去證λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用過兩點的直線的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去證KAB=KAC；你還可以先建立直線AB的方程f(x,y)=0，然後驗證點C的座標適合直線AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直線AB的方程之後，利用點到直線的距離公式 證明dc-AB=0；你還可以計算△ABC的面積，去證S△ABC=0。你看，有五、六種方法可以解決同一個問題，當然難度有高有低。一題多解中選擇方法、最佳化方法也是能力（洞察、觀察）的體現，從比較中才可以鑑別方法的優劣。據說考試下來，有一些重點中學的尖子生對自己沒能解答出第（Ⅲ）問很懊悔，一些老師也說這個題目“運算量太大難以完成”！不知讀者諸君欣賞至此，能不能發現上述問題的癥結究竟發生在哪裡？北京市有許多重點中學的師生，對高中數學課本的習題不屑一顧，很少去鑽研教材中的例題、習題，去尋求與發現知識之間的內在聯絡，去總結解題的原則、思路與規律。各種各樣的複習資料，幾十套幾十套的各地模擬試卷，使高三學生跳進題海做得昏天黑地而難以自拔，這哪裡還談得上素質教育與培養能力？我們應當從欣賞“翩翩飛舞的橢圓蝴蝶”中去用心體會“精選題目充分利用題目的“營養”價值”在數學教學與複習中的重要作用，從而解放思想，勇敢大膽地摒棄“題海戰術”。而要使學生跳出題海，老師就必須首先跳入題海，“題海探珠”，感悟數學教育改革的真諦。——注重基礎、注重理解、注重聯絡、注重能力。