然後我們將這些小條一根根的豎起來，按照面積由小至大的順序，如下圖然後我們已經將圓的面積轉換成三角形的面積了，三角形的斜率為2πr，由於之前假定半徑為3，那麼三角形△面積為3*2π3*0.5如果任意半徑R,那麼面積就是πR²推導完畢

圓面積公式的推導目前最簡單的就是藉助微積分。不過事實上在微積分誕生很久之前就已經有圓的面積公式了。目前可考證的最古老的證法是阿基米德在公元前250年完成的，之後中國成書於東漢的《九章算術》也給出了圓的面積公式（目前好像還無法確定此公式的準確提出時間，《九章算術》是對先秦和漢朝在數學方面成果的全面總結），隨後在公元263年劉徽的註釋上用無限割圓術給出了證明。

阿基米德的證明方法還是比較巧妙，通俗易懂的，其核心是證明圓的面積與分別以圓周長和半徑為兩直角邊的直角三角形面積相等。

假設圓的面積比此直角三角形的面積大，記二者之差為A。作圓的內接正四邊形，並記此四邊形與圓的面積差為B4，如果B4大於A，那麼再作圖示的正八變形，同樣記此正八邊形與圓的面積差為B8，顯然B8小於B4，以此類推，總能找到圓的內接正4n變形，其與圓的面積之差B4n小於A，即此內接正4n變形的面積大於前述所定義的直角三角形。另一方面，連結正4n變形的所有頂點與圓心可將其分割成4n個等腰三角形，顯然所有等腰三角形的高小於圓半徑，而所有底邊之和小於圓周長，所以此正4n變形的面積要小於開始定義的直角三角形面積。這顯然與之前的結論矛盾，故而最初的假設“圓的面積大於所定義的直角三角形面積”是不成立的，即得圓的面積不大於該直角三角形面積。

用類似的反證法，並藉助圓的外切正多邊形可以證明圓的面積不小於所定義的直角三角形面積。一個不大於，一個不小於，二者同時成立的條件只能是等於。所以就得到了圓的面積與分別以圓周長和半徑為兩直角邊的直角三角形面積相等的結論，進而獲得圓的面積計算公式。

阿基米德的這一證法感覺並不是很艱澀，算是比較好懂的，以後拿娃試試，看能不能讓一個八九歲的孩子明白。

圓的面積計算公式為S=πR^2，推導方法如下：

參照插圖所示，在圓內接一個邊長為L的正N邊形，其每個頂點都與圓心連線，形成N個等腰三角形，計算出等邊腰三角形的面積，再乘以N，得出的結果就是近似圓的面積S。

三角形的面積為：(L×H)÷2

正N邊形的面積：S=N× (L×H)÷2 =(N×L)×H÷2

當N值趨近無窮大時，H值趨近R值，N×L值趨近於圓的周長2πR，於是前式變為：

S=(N×L)×H÷2=2πR×R÷2=πR×R=πR^2

推導完畢。