幾何原本讀後感 《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，大約成書於公元前 300 年左右，是一部劃時代的著作，是最早用公理法建立起演繹數學體系的 典範。它從少數幾個原始假定出發，透過嚴密的邏輯推理，得到一系列的命題， 從而保證了結論的準確可靠。 《幾何原本》的原著有 13 卷，共包含有 23 個定義、5 個公設、5 個公理、 286 個命題。是當時整個希臘數學成果、方法、思想和精神的結晶，其內容和形 式對幾何學本身和數學邏輯的發展有著巨大的影響。自它問世之日起，在長達 二千多年的時間裡一直盛行不衰。它歷經多次翻譯和修訂，自 1482 年第一個印 刷本出版後，至今已有一千多種不同的版本。除了《聖經》之外，沒有任何其 他著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相比。但《幾何原 本》超越民族、種族、宗教信仰、文化意識方面的影響，卻是《聖經》所無法 比擬的。 《幾何原本》的希臘原始抄本已經流失了，它的所有現代版本都是以希臘 評註家泰奧恩（Theon，約比歐幾里得晚七百年）編寫的修訂本為依據的。《幾 何原本》的泰奧恩修訂本分 13 卷，總共有 465 個命題， 其內容是闡述平面幾何、 立體幾何及算術理論的系統化知識。 第一卷首先給出了一些必要的基本定義、解釋、公設和公理，還包括一些 關於全等形、平行線和直線形的熟知的定理。該卷的最後兩個命題是畢達哥拉 斯定理及其逆定理。這裡我們想到了關於英國哲學家 T．霍布斯的一個小故事： 有一天，霍布斯在偶然翻閱歐幾里得的《幾何原本》，看到畢達哥拉斯定理， 感到十分驚訝，他說：“上帝啊！這是不可能的。”他由後向前仔細閱讀第一 章的每個命題的證明，直到公理和公設，他終於完全信服了。 第二卷篇幅不大，主要討論畢達哥拉斯學派的幾何代數學。 第三捲包括圓、弦、割線、切線以及圓心角和圓周角的一些熟知的定理。 這些定理大多都能在現在的中學數學課本中找到。 第四卷則討論了給定圓的某些內接和外切正多邊形的尺規作圖問題。 第五卷對歐多克斯的比例理論作了精彩的解釋，被認為是最重要的數學傑 作之一。據說，捷克斯洛伐克的一位並不出名的數學家和牧師波爾查諾 （Bolzano，1781－1848），在布拉格度假時，恰好生病，為了分散注意力，他 拿起《幾何原本》閱讀了第五卷的內容。他說，這種高明的方法使他興奮無比， 以致於從病痛中完全解脫出來。此後，每當他朋友生病時，他總是把這作為一 劑靈丹妙藥問病人推薦。 第七、八、九卷討論的是初等數論，給出了求兩個或多個整數的最大公因 子的“歐幾里得演算法”，討論了比例、幾何級數，還給出了許多關於數論的重 要定理。 第十卷討論無理量，即不可公度的線段，是很難讀懂的一卷。 最後三卷，即第十一、十二和十三卷，論述立體幾何。目前中學幾何課本 中的內容，絕大多數都可以在《幾何原本》中找到。 《幾何原本》按照公理化結構，運用了亞里士多德的邏輯方法，建立了第 一個完整的關於幾何學的演繹知識體系。所謂公理化結構就是：選取少量的原 始概念和不需證明的命題，作為定義、公設和公理，使它們成為整個體系的出 發點和邏輯依據，然後運用邏輯推理證明其他命題。《幾何原本》成為了兩千 多年來運用公理化方法的一個絕好典範。誠然，正如一些現代數學家所指出的 那樣，《幾何原本》存在著一些結構上的缺陷，但這絲毫無損於這部著作的崇 高價值。它的影響之深遠．使得“歐幾里得”與“幾何學”幾乎成了同義語。 它集中體現了希臘數學所奠定的數學思想、數學精神，是人類文化遺產中的一 塊瑰寶。
幾何原本讀後感 《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，大約成書於公元前 300 年左右，是一部劃時代的著作，是最早用公理法建立起演繹數學體系的 典範。它從少數幾個原始假定出發，透過嚴密的邏輯推理，得到一系列的命題， 從而保證了結論的準確可靠。 《幾何原本》的原著有 13 卷，共包含有 23 個定義、5 個公設、5 個公理、 286 個命題。是當時整個希臘數學成果、方法、思想和精神的結晶，其內容和形 式對幾何學本身和數學邏輯的發展有著巨大的影響。自它問世之日起，在長達 二千多年的時間裡一直盛行不衰。它歷經多次翻譯和修訂，自 1482 年第一個印 刷本出版後，至今已有一千多種不同的版本。除了《聖經》之外，沒有任何其 他著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相比。但《幾何原 本》超越民族、種族、宗教信仰、文化意識方面的影響，卻是《聖經》所無法 比擬的。 《幾何原本》的希臘原始抄本已經流失了，它的所有現代版本都是以希臘 評註家泰奧恩（Theon，約比歐幾里得晚七百年）編寫的修訂本為依據的。《幾 何原本》的泰奧恩修訂本分 13 卷，總共有 465 個命題， 其內容是闡述平面幾何、 立體幾何及算術理論的系統化知識。 第一卷首先給出了一些必要的基本定義、解釋、公設和公理，還包括一些 關於全等形、平行線和直線形的熟知的定理。該卷的最後兩個命題是畢達哥拉 斯定理及其逆定理。這裡我們想到了關於英國哲學家 T．霍布斯的一個小故事： 有一天，霍布斯在偶然翻閱歐幾里得的《幾何原本》，看到畢達哥拉斯定理， 感到十分驚訝，他說：“上帝啊！這是不可能的。”他由後向前仔細閱讀第一 章的每個命題的證明，直到公理和公設，他終於完全信服了。 第二卷篇幅不大，主要討論畢達哥拉斯學派的幾何代數學。 第三捲包括圓、弦、割線、切線以及圓心角和圓周角的一些熟知的定理。 這些定理大多都能在現在的中學數學課本中找到。 第四卷則討論了給定圓的某些內接和外切正多邊形的尺規作圖問題。 第五卷對歐多克斯的比例理論作了精彩的解釋，被認為是最重要的數學傑 作之一。據說，捷克斯洛伐克的一位並不出名的數學家和牧師波爾查諾 （Bolzano，1781－1848），在布拉格度假時，恰好生病，為了分散注意力，他 拿起《幾何原本》閱讀了第五卷的內容。他說，這種高明的方法使他興奮無比， 以致於從病痛中完全解脫出來。此後，每當他朋友生病時，他總是把這作為一 劑靈丹妙藥問病人推薦。 第七、八、九卷討論的是初等數論，給出了求兩個或多個整數的最大公因 子的“歐幾里得演算法”，討論了比例、幾何級數，還給出了許多關於數論的重 要定理。 第十卷討論無理量，即不可公度的線段，是很難讀懂的一卷。 最後三卷，即第十一、十二和十三卷，論述立體幾何。目前中學幾何課本 中的內容，絕大多數都可以在《幾何原本》中找到。 《幾何原本》按照公理化結構，運用了亞里士多德的邏輯方法，建立了第 一個完整的關於幾何學的演繹知識體系。所謂公理化結構就是：選取少量的原 始概念和不需證明的命題，作為定義、公設和公理，使它們成為整個體系的出 發點和邏輯依據，然後運用邏輯推理證明其他命題。《幾何原本》成為了兩千 多年來運用公理化方法的一個絕好典範。誠然，正如一些現代數學家所指出的 那樣，《幾何原本》存在著一些結構上的缺陷，但這絲毫無損於這部著作的崇 高價值。它的影響之深遠．使得“歐幾里得”與“幾何學”幾乎成了同義語。 它集中體現了希臘數學所奠定的數學思想、數學精神，是人類文化遺產中的一 塊瑰寶。