向量亦稱“向量”。有些物理量，是由數值大小和方向才能完全確定的物理量，這些量之間的運算並不遵循一般的代數法則，在相加減時它們遵從幾何運演算法則。這樣的量叫“物理向量”。如速度、加速度、位移、力、衝量、動量、電場強度、磁場強度……等都是向量。可用黑體字（例如F）或帶箭頭的字母來表示向量。 簡單來說，既有大小又有方向的量叫向量。

標量亦稱“無向量”。有些物理量，只具有數值大小，而沒有方向。這些量之間的運算遵循一般的代數法則。這樣的量叫做“標量”。如質量、密度、溫度、功、能量、路程、速率、體積、時間、熱量、電阻等物理量。無論選取什麼座標系，標量的數值恆保持不變。向量和標量的乘積仍為向量。向量和向量的乘積，可構成新的標量，也可構成新的向量，構成標量的乘積叫標積；構成向量的乘積叫矢積。如功、功率等的計算是採用兩個向量的標積。 用通俗的說法，標量是隻有大小，沒有方向的量。

向量與標量正負號區別，無論是向量，還是標量，都存在正負號問題。但向量正負號跟標量正負號有本質區別。 ⑴向量正負號：在選定一個正方向的前提下，向量的正負號實質上表示向量的方向。若向量為正，表示該向量跟選定正方向相同；向量為負表示跟選定正方向相反。 ⑵標量正負號：通常標量僅用數值即可作出充分描述。但有的標量還需要藉助方向或正負才能完成對物理量的描述。如電流，除了有大小外，還規定正電荷定向移動的方向為電流方向，與負電荷定向移動方向相反。（這樣的物理量還有磁通量等）功用大小和正負來描述，對物體做正功即力的方向和受力物體運動的方向相同，做負功是克服一些力做功，且力的方向和受力物體運動的方向相反。

向量與標量的本質區別是：它們所遵從的運演算法則不同。向量是平行四邊形法則，標量是算術法則。

標量是指量的大小；向量則是在標量基礎上增加方向。主要運用力學，解決物體受力情況，有了上述兩種概念。

對一個物體進行解析，獲取重力大小、浮力大小等直接用標量。

對物體的受力綜合情況用向量。分析出各個方向的力大小如何，方向相反且大小相同的抵消，求出物體合力大小。

例如:橋的建造過程，為求橋穩定存在，把橋樑的支撐力，鋼條需要多大規模提供足夠拉力，汽車通行量多少對橋面產生多大向下壓力等。橋的整體需要適應不同方向的力，就不得不製造相反的作用力來抵消影響，來達到安穩常在局面。

綜合所述，正是力具有方向性，並影響著物體，向量是對其的稱喟，具有實際的物理意義。不是空穴來風。而標量則是單考慮某一因素，例如重力多大。

以上就是我的解答，以下是推薦內容

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空間的維度化概念提出，正是引數具有方向性造就。例如立方體長、寬、高就是方向不同，若長寬方向相同，又因引數沒大小限制，立方體就成正方形。

是的，因為人類作為“觀察者”必須預先“設定一個方向”用來做“參照系”，而你要知道，拋開人類不談，在大自然中是不存在所謂的“方向”的，什麼是“東西南北”？什麼是左右？都是人為定義，包括電磁場的方向，法拉第螺旋定則，雖然明確指出了“電流的方向”，但是這個方向仍然深深打上了人類的烙印，所以嚴格意義上看，自然界沒有天然帶有方向的向量。呵呵！

物理之理，就是動力學的原理，這是西方人很厲害的玩意。我們的國學經典沒有，也是中華文化的短板或硬傷。

動力學=動向量+力向量

什麼叫動力學？英文“mechanics”。其中，me是meta是變易,運動；chan是change是變更力,改變,交換；ic是相關的；s是science, study是學科,研究。

可見，動力學研究“物體運動”與“作用力”兩類向量之間的函式關係。

向量的意思與分類

向量(vector)，顧名思義，是如箭頭指向的參量，也叫向量。

第一類向量，是物體運動的速度與動量(mv)，其方向是運動軌跡某個點位的切線方向。所以我們常說物體運動軌跡是彎曲的。

例如，核外電子的運動方向是繞核運動的準橢圓軌跡某點的切線方向；飛機的運動方向是走測地線軌跡某點的切線方向。

第二類向量，是外力作用的力與衝量(Ft)，衝量方向對準是某個物體的受力點或質心；力向與動向，或相同或相反。

例如，施加於門窗的推力或拉力；球杆端頭擊打Golf球的碰撞力；施加於路面的摩擦力。

第三類向量，是能密分佈的梯度場(E·▽)，也叫標量場。源於實體旋進所激發的真空場。包括實體固有的引力場，粒子電荷的電磁場。

引力場，源於粒子自旋產生南北極的負壓差，引力場的方向對準實體粒子的質心位置。

電磁場，源於粒子旋進切割磁力線的簡併壓。簡併壓的方向對準電子旋進的切線方向。

梯度場，經常採用算符與基矢。常見算符：▽=d/dx+d/dy+d/dz，▽²=d²/dx²+d²/dy²+d²/dz²。基矢(ε)是向量在XYZ三個座標軸上的投影基元，ε=εi+εj+εk。

標量的意思與分類

標量(scalar)，英文意思是“規模性的”。規模，即大小、規格、尺度、數量。

第一類標量，是伴隨位移向量而具有程序方向的泛向量。此類參量只適合代數和疊加原則。

例1，電流I(程序)從高電位指向低電位。電流方向是電荷偏離原子核電荷磁場的方向。

例2，時間t(程序)是有方向的，與物體運動的切線方向是一致的，即所謂的時間箭頭。

例3，壓強(p=F/A)，尤其流體壓強有各向傳遞性並服從分壓定律，不適合平行四邊形法則。

第二類標量，是空間累積效應的物理參量，服從代數和疊加法則。

例4：質量(m)是電子與質子的空間累積標量。

例5，動能(F·x)取決於力的空間累積標量。

例6，體積(V)是場量子的空間累積標量。

例7，溫度(T)是平均動能的空間累積標量。

例8，行程(d)是物體運動的空間累積標量。

例9，熱量(Q)是光量子的空間累積標量。

向量的疊加方式

規定：加粗的是向量，未加粗的是標量

向量加法：OA+OB=OC

夾角θ的OA與OB兩向量的疊加向量等於以OA與OB為鄰邊的平行四邊形對角線OC對應值。

向量乘法：點乘、叉乘、內積(張量積)。

兩個向量A與B在正交軸的分向量是：(A₁A₂A₃)與(B₁B₂B₃)，記作：

A=A₁ε₁+A₂ε₂+A₃ε₃=ΣAiεi (i=1~3)

B=B₁ε₁+B₂ε₂+B₃ε₃=ΣBiεi (i=1~3)...(1.1-1)

式中，εi是基矢。基矢下標(1,2,3)代表直角座標(x,y,z)或球面座標(r,θ,φ)。

附錄

以下是筆者的工作手記，非物理系的可略過。

向量點乘，結果是標量

A·B=ABcosθ...(1.1-2)

AB叫標量積或模之積，θ叫轉角或幅角。

交換律：A·B=B·A...(1.1-3)

結合律：mA·nB=mnAB...(1.1-4)

分配律：A·(B+C)=A·B+A·C...(1.1-5)

Rt系中：A·B=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃...(1.1-6)

向量的叉乘，結果是向量

A×B=ABsinθn...(1.1-7)

n是從A轉向B且按右手螺旋前進的單位向量。

互反律：A×B=-B×A...(1.1-8)

分配律：A×(B+C)=A×B+A×C...(1.1-9)

Rt系中：A×B=△₁ε₁+△₂ε₂+△₃ε₃...(1.1-10)

其中

△₁=A₂B₃-A₃B₂,△₂=A₃B₁-A₁B₃,△₃=A₁B₂-A₂B₁

例1. 點叉乘=標量

A·(B×C)=C·(A×B)=B·(C×A)...(1.1-11)

按迴圈次序輪換，三向量有輪換對稱性。

例2. 三叉乘=向量

A×B×C=B(A·C)-C(A·B)...(1.1-12)

向量並乘，結果是向量

也叫並矢、度規張量積，即兩向量A,B並列,中間無點叉。

τ=AB=ΣAiBjεiεj...(1.1-13)

詳見張量簡介。

標量場的梯度=向量

物理參量的空間分佈叫場。

標量場，如溫度場、能量場、電勢場。向量場，如電場強度之E場、磁感應強度之B場。

溫度場描述空間各點溫度，T(xyz)是溫度場函式，若從某點出發經過dl之後，有

dT=əT/əxdx+əT/əydy+əT/əzdz...(1.2-1)

∵ dl=dxεx +dyεy+dzεz，ε是單位向量

∴ dT=(əT/əxεx+əT/əyεy+əT/əzεz)·dl

即：dT=(▽T)·dl=|▽T||dl|cosθ...(1.2-2)

式中，▽T=əT/əxεx+əT/əyεy+əT/əzεz，叫溫度場T(xyz)的梯度。

當dl沿▽T方向徑向運動時θ=0，dT最大。

▽T值，就是場T(xyx)在該點的最大變化率。最大變化率的方向就是▽T的方向。

梯度▽，是帶單位向量的微分算符，只能對右方函式有意義。▽既是向量又是算符。寫成：

▽=ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz 或：

▽=εxə/əx+εyə/əy+εzə/əz...(1.2-3)

向量場的(高斯)散度定理

場F(xyz)透過曲面的通量=場對各點P(xyz)面元dS的積分：

開曲面的場通量：Φ=ʃʃ F·dS...(1.3-1)

閉曲面的場通量：Φ=ʃʃ₀F·dS...(1.3-2)

單位空間通量極限——散度(標量)

▽·F=ʃʃ₀F·dS/△V(→0)...(1.3-3)

若▽·F>0，叫有源場； 若▽·F=0，叫無源場； 若▽·F<0，叫漏或匯。

在Rt座標系中的散度：

▽·F=əFx/əx+əFy/əy+əFz/əz...(1.3-4)

高斯散度定理

由(1.3-3)的散度定義，可以得到：

Φ=ʃʃ₀F·dS=ʃʃʃ▽·FdV...(1.3-5)

表明：向量場F在閉曲面S的通量=內空間V內散度▽·F的體積分，即：面通↹體通。

向量場的旋度

向量場的環流量F(xyz)走的閉曲線積分叫該場的環流量，即：

Γ=ʃ₀F·dl=ʃ₀Fxdx+Fydy+Fzdz...(1.4-1)

旋度，是單位面積環流量的極限，即：

▽×Fₙ=ʃ₀F·dl/△S(→0)...(1.4-2)

其▽×Fₙ是場F法向最大渦旋量，n=正法向。 若▽·F≠0，叫有旋場； 若▽·F=0，叫無旋場。

在Rt座標系中的旋度：

▽×F=(əFz/əy-əFy/əz)εx+(əFx/əz-əFz/əx)εy+(əFy/əx-əFx/əy)εz...(1.4-3)

斯托克斯旋度定理

按旋度定義(1.4-2)，可以得到：

ʃ₀F·dl=ʃʃ▽×F·dS...(1.4-4)

場環流的線積分=場旋度▽×F的面積分。

向量場的判定條件

1. 兩類向量場

純源場=無旋場=法向場=縱場，特徵：

①旋度為零：▽×A=0...(1.5-1)

②等於另一標量場梯度：A=▽φ...(1.5-2)

純旋場=無源場=切向場=橫場，特徵：

①散度為零：▽·A=0...(1.5-3)

②等於另一向量場旋度：A=▽×F...(1.5-3)

2. 兩個恆等式

凡叉乘標量場梯度的必為零，即：

▽×(▽·φ)≡0...(1.5-4)

凡點乘向量場旋度的必為零，即： ▽·(▽×F)≡0...(1.5-5)

3. 亥姆赫茲定理

①開放中的向量場，要考慮散度與旋度，

②封閉中的向量場，還考慮邊界的法向分量。

算符對函式的運算

1 微分算符▽作用於三種(場)函式：

①標量場φ(xyz)梯度：▽φ

②向量場F(xyx)散度：▽·F

2，▽的定義，

在直角座標系中，

▽=ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz，或

▽=εxə/əx+εyə/əy+εzə/əz...(1.6-1)

3，▽的兩個性質：

①向量性：使右方函式變成向量。例如▽·F是F的散度，F·▽因右方無函式故為非向量。

②微分性：三維偏導數的代號。

4，▽的符號讀法

①▽=梯/nabla/del=哈符，

②△=▽▽=▽²=梯梯/delsquare=拉符

△=(ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz)(ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz)=ə²/əx²+ə²/əy²+ə²/əz²

∵靠的cosθ=1，∴靠≤點。

5，▽的運算規則

①梯靠→標靠標：▽(αβ)=α▽β+β▽α

②梯點→標靠矢：▽·(αA)=▽α·A+α▽·A

④梯點→矢叉矢：▽·(A×B)= =(▽×A)·B-A·(▽×B)

⑤梯叉→矢叉矢：▽×(A×B)= =[(α·▽)B+(β·▽)]-[(β·▽)A+(α·▽)B]

⑥梯靠→矢點矢：▽(A·B)= =[A×(▽×B)+(A·▽)B]+[B×(▽×A)+(B·▽)A]

⑦梯點→梯靠標：▽·(▽α)=▽²α

6，▽作用於複函式

①梯點→標覆函：▽·α(β)=əα/əβ▽β

②梯點→矢覆函：▽·A(β)=▽β·əA/əβ

7 ▽作用於R函式

向量：R=r-r"=(x-x")εx+(y-y")εy+(z-z")εz

標量：|R|=√[(x-x")²+(y-y")²+(z-z")²]

梯靠：▽R=R/|R|，

推廣1：▽Rⁿ=n|R|ⁿ⁻²R

推廣2：▽"R=-R/|R|=-▽R，

推廣3：▽·R=3，▽×R=0

例：證明ʃ₀(m×r)·dl=2ʃʃm·dS，其中m為常向量，變向量r=xεx+yεy+zεz，ε為基矢。 證明如下：

根據斯托克斯定理：

ʃ₀F·dl=ʃʃ▽×F·dS， 取：F=m×r， 得：

ʃ₀(m×r)·dl=ʃʃ▽×(m×r)·dS，

根據梯叉矢叉矢：

▽×(A×B)=[(α·▽)B+(β·▽)]-[(β·▽)A+(α·▽)B]，

代入有：▽×(m×r)=2m

所以有：ʃ₀(m×r)·dl=2ʃʃm·dS。

張量簡介

1, 張量的概念

兩個向量場A(123)與B(123)的座標矩陣乘積，簡稱“並矢/並積”讀作A並B，寫成：

AB=(A₁ε₁+A₂ε₂+A₃ε₃)(B₁ε₁+B₂ε₂+B₃ε₃) =A₁B₁ε₁ε₁+A₁B₂ε₁ε₂+A₁B₃ε₁ε₃+A₂B₁ε₂ε₁+A₂B₂ε₂ε₂+A₂B₃ε₂ε₃+A₃B₁ε₃ε₁+A₃B₂ε₃ε₂+A₃B₃ε₃ε₃...(1.7-1)

通常：AB≠BA...(1.7-2)

並矢有9個分向量(Ai靠Bi)，寫成行列式：

A₁B₁(=T₁₁) A₁B₂(=T₁₁) A₁B₃(=T₁₁) A₂B₁(=T₂₁) A₂B₂(=T₂₂) A₂B₃(=T₂₃) A₃B₁(=T₃₁) A₃B₂(=T₃₂) A₃B₃(=T₃₃)...(1.7-3)

在三維空間中的9分物理量叫二階張量。

並矢是一般二階張量的測度規範，簡稱“度規”。

一般二階張量：T=ΣTijεiεj...(1.7-4)

其中，並矢εiεj，可作為T的9個基矢，T的分量=Tij，標量=0階張量，向量=1階張量。

案例——彈性體應力的張量解釋。 受力的彈性體，內部分子有複雜的作用力，相鄰之間的相互作用力叫內應力。

▲此例只是虛構，真實應力應從分子結構的電子雲所激發的光子分佈來探討。 任取微小四面體，斜面為面元dσ，有一P點透過dσ，相鄰dσ面的分子受到互反作用力df。其它三面是dσx,dσy,dσz沿三座標軸，大小分別為：

|dσx|=dσ·εx,|dσy|=dσy·εy,|dσz|=dσz·εz，

相應的作用力為：dfx,dfy,dfz。

四面體內物質受力平衡：

df-dfx-dfy-dfz=0...(1.7-5)

令dσx上應力dfx的分量為dfxx,dfxy,dfxz。考慮到dfx的大小與dσx的大小成正比，有：

dfx=dfxxεx+dfxyεy+dfxzεz，即

dfx=dσx(Txxεx+Txyεy+Txzεz)，同理

dfy=dσy(Tyxεx+Tyyεy+Tyzεz)

dfz=dσz(Tzxεx+Tzyεy+Tzzεz)...(1.7-6)

式中，Txy是沿x軸的單位面積的前方分子對後方分子作用力的y分量，其餘類推，有：

df=dfx+dfy+dfz= dσx(Txxεx+Txyεy+Txzεz)+ dσy(Tyxεx+Tyyεy+Tyzεz)+ dσz(Tzxεx+Tzyεy+Tzzεz)...(1.7-7)

引入T=ΣTijεiεj，並規定：向量從左點乘T中的第一個單位向量，即：

df=dσ·T...(1.7-8)

這裡的T是一個張量，分量是Tij，i下標是應力面的法向，j下標j是應力面的切向。

對沿x軸的應力面而言，Txx是法應力(張力/伸縮力)，Txy,Txz是切應力(剪力/扭轉力)。

若Tij的9個分量已知，則對任意方向的dσ對應的df皆可求出，P點的應力就完全清楚了。

2，張量的性質

① Tij=Tji,叫對稱張量/矩陣,有6獨分量。

② Tij=-Tji,反對稱,對角元素=0,有3獨分量。

因此，單位張量·向量f=f：

I·f=f·l=f...(1.7-9)

3 張量的運算，

有度規T=AB

換點基：f·(εiεj)=(f·εi)εj...(1.7-10)

換叉基：f×(εiεj)=(f×εi)εj...(1.7-11)

同階張：T±D=Σ(Tij±Dij)εiεj...(1.7-12)

標靠張：αT=Σ(αTij)εiεj...(1.7-13)

矢點張：f·T=ΣTf·(εiεj)...(1.7-14)

矢點張：f·T=f·(AB)=(f·A)B...(1.7-15)

張點矢：T·f=(AB)·f=A(B·f)...(1.7-16)

對稱點：Tij=Tji，f·T=T·f...(1.7-17)

反對點：Tij=-Tji，f·T=-T·f...(1.7-18)

矢叉張：f×T=ΣTij×(εiεj)...(1.7-19)

矢叉並：f×T=f×(AB)=(f×A)B...(1.7-20)