方程組為二元二次方程組，解法與二元一次方程組一致，可利用代入消元法消去一個未知數，再解方程。（注：消元思想是解方程中的核心思想，消元的做法也體現著轉化這一重要的數學思想，將不熟悉的不能直接解的二元二次方程組轉化成熟悉的能解的一元方程，從而到達求解目的）。具體解法如圖所示

1、整式方程 等號兩邊都是關於未知數的整式的方程，叫做整式方程．2、一元二次方程 一個格式方程整理後如果只含有一個未知數，且未知數的最高次項的次數為2次的方程，叫做一元二次方程．3、一元二次方程的一般形式 方程ax2＋bx＋c=0(a、b、c為常數，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，＋bx，＋c分別叫做二次項，一次項和常數項，a、b分別稱為二次項係數和一次項係數．4、一元二次方程的解 能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解．5、直接開方法 形如x2=a(a≥0)和(x＋m)2=n(n≥0)的方程，根據平方根的定義，可採用直接開平方法解方程．6、配方法解一元二次方程例如：將方程x2＋6x＋7=0的常數項移到右邊，並將一次項6x改寫成2·x·3得：x2＋2·x·3=－7． 可以看出，為了使左邊成為完全平方式，在方程兩邊都加上32(即一次項係數一半的平方)得 x2＋6x＋32＝－7＋32，整理得 (x＋3)2＝2， 解這個方程得． 這種解一元二次方程的方法叫做配方法．這種方法就是先把方程的常數項移到方程的右邊，再把左邊配成一個完全平方式，如果右邊是非負數，就可以直接利用開平方法求出它的解．7、一元二次方程的求根公式 一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)，當b2－4ac≥0時的根為． 該式稱為一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法稱為求根公式法，簡稱公式法．8、一元二次方程的根的判別式 (1)當b2－4ac＞0時，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有實數根，； (2)當b2－4ac=0時，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有實數根； (3)當b2－4ac＜0時，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)沒有實數根． 其中b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判別式．9、因式分解法 (1)分解因式法：當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易於分解成兩個一次因式的乘積時，我們就可以將一元二次方程化為兩個一元一次方程來求解，從而求出原方程的解，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式法． (2)用分解因式法解一元二次方程的步驟： ①將方程的右邊化為0； ②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積； ③令每一個因式分別為零，得到兩個一元一次方程； ④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解．二、重難點知識歸納1、一元二次方程的解法．2、一元二次方程根的判別式．三、典型例題剖析例1、關於x的方程是一元二次方程，則m=______；解： 由題意得解得． 故填．例2、(1)已知關於x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0的一根是0，則a的值為（ ）A．1 B．－1C．1或－1 D．(2)關於x的方程(m＋2)2x2＋3m2x＋m2－4=0有一根為0，則2m2－4m＋3的值為（ ）A．3 B．19C．±2 D．3或19思路： 根據方程的根的定義可知數0都滿足方程，但不同的是第(1)題給出的是關於x的一元二次方程，而第(2)題是關於x的方程，即後者有可能是關於x的一元一次方程，即(m＋2)2有可能為0，也有可能不為0，前者的二次項係數(a－1)一定不為0． (1)將x=0代入方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0得a2－1=0，∴a=1或a=－1，又因為關於x的方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0是一元二次方程，∴a－1≠0即a≠1，故a的值為－1； (2)將x=0代入原方程得m2－4=0，∴m=±2，當m=2時，2m2－4m＋3=3，當m=－2時，此時方程為一次方程，符合題意，且此時2m2－4m＋3=19，故所求的代數式的值為3或19．解： (1)B； (2)D．總結： (1)代解、求解是解決與方程的根有關的問題的兩種基本方法； (2)要注意關於x的方程與關於x的一元二次方程的區別，後者必須滿足二次項係數不能為0．例3、已知m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，試求(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n＋2007)的值．思路： 根據一元二次方程的根的定義，由於m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，所以m2＋2006m－2008=0，n2＋2006n－2008=0，由此不難求出(m2＋2006m－2007)和(n2＋2006n－2007)的值．解： ∵m、n是方程x2＋2006x－2008=0的根， ∴m2＋2006m－2008=0，n2＋2006n－2008=0 ∴m2＋2006m－2007=1 n2＋2006n＋2007=4015 ∴(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n＋2007)=1×4015=4015總結： 要善於運用根的定義，求出某些代數式的值． 例4、解方程(1)x2－4x－3=0；(2)2x2＋3=7x．思路： (1)方程x2－4x－3=0的二次項的係數已經是1，可以直接運用配方法求解； (2)方程2x2＋3=7x先化為一般形式，這個方程的二次項係數是2，為了便於配方，可把二次項係數先化為1，為此，把方程的各項都除以2．解： (1)移項得x2－4x=3 配方得x2－4x＋(－2)2=7 即(x－2)2=7 解這個方程得x－2=±，即； (2)移項得2x2－7x=－3 把方程兩邊都除以2得 配方得． 即 解這個方程是，x2=3．總結： 配方法是解一元二次方程的重要方法，熟練掌握完全平方式是配方法解題的基礎．對於二次項係數為1的方程，在方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方即可配方，若二次項係數不為1，一般應先將二次項係數變為1，然後再配方比較簡便，熟練後，根據具體情況可靈活處理．例5、小明、小華和小英三人共同探討代數式x2－4x＋5的值的情況，他們進行了明確的分工，小明負責找出最小值，小華負責找出值為0的x的值，小英負責求出最大值，5分鐘後，各自通報自己的成績． 小華說：當x2－4x＋5=0時，方程沒有解，故找不到滿足條件的x值，使x2－4x＋5的值為零． 小明說：我考察了很多數，發現最小值為1． 小英說：x2－4x＋5的值隨x取值改變而改變，我暫時沒有找到它的最大值． 聰明的同學，你能用什麼方法很快對他們的結論作出準確的判斷嗎？我想，你一定行的！思路： 將x2－4x＋5配方易得出結論． 解：因為x2－4x＋5＝x2－4x＋22＋1 =(x－2)2＋1 當x=2時，代數式的值最小，最小值為1，所以小明結論正確，由此可知找不到滿足條件的x值，使x2－4x＋5的值為零，也可以知道代數式沒有最大值(在此處配方的威力可大啊！)總結： 配方法是一種最重要的數學方法，透過配方，使代數式中出現完全平方式的形式，然後利用完全平方式的特點，使問題得到解決．例6、解下列方程： (1)； (2)； (3); (4)．思路： 用求根公式法解一元二次方程的關鍵是找出a、b、c的值，再代入公式計算，解： (1)∵a=1，，c=10∴ ∴ (2)原方程可化為 ∵a=1，，c=2∴ ∴ (3)原方程可化為 ∵a=1，，c=－1 ∴ ∴； ∴． (4)原方程可化為 ∵ ∴ ∴； ∴．總結： (1)用求根公式法解一元二次方程首先將方程化為一般形式；如果二次項係數為負數，通常將其化為正數；如果方程的係數含有分母，通常先將其化為整數，求出的根要化為最簡形式； (2)用求根公式法解方程按步驟進行。例7、解方程：．思路： 因為，若設則原方程可化為：3y2－5y－2=0，解此方程求得y值，再代回原式，求出x的值，也可以直接把看作一個整體，先求出的值，再求x．解： 設，原方程化為3y2－5y－2=0． ∵a=3，b=－5，c=－2， ∴b2－4ac=25－4×3×(－2)=49 ∴，∴y1=2， 當時，，解得． 當y=2時，，解得． ∴原方程的解為，．總結： 使用換元法的關鍵在於換元式的確定．本例中求出y1=2，後還沒有達到解題的目的．因為本例中不是解關於y的方程，而是解關於x的方程，因此，必須反代回去，求出x．例8、(1)解下列方程： x2－2x－2=0①； 2x2＋3x－1=0②； 2x2－4x＋1=0③； x2＋6x＋3=0④． (2)上面四個方程中，有三個方程一次項係數有共同特點，請你用代數式表示這個特點，並推匯出具有這個特點的一元二次方程的求根公式．思路： 利用求根公式法求出方程的根．觀察四個方程可知：方程①③④的一次項係數均為偶數．即一次項係數為偶數2n(n為整數)，再利用求根公式推導．解： (1)解方程x2－2x－2=0① 得 解方程2x2＋3x－1=0② 得 解方程2x2－4x＋1=0③ 得 解方程x2＋6x＋3=0④ 得；(2)其中方程①③④的一次項係數為偶數2n(n為偶數) 一元二次方程ax2＋bx＋c=0其中b2－4ac≥0，b=2n，n為整數 因為b2－4ac≥0，即(2n)2－4ac≥0，∴n2－ac≥0所以一元二次方程ax2＋2nx＋c=0(n2－ac≥0)的求根公式為．總結： 找出方程中一次項係數的共同特點，然後再運用一元二次方程的求根公式推匯出新的表示式． 例9、如果關於x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0沒有實數根，試說明關於x的方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有實數根．思路： 由一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0沒有實數根，可以得出k≠0，b2－4ac＜0，從而求出k的取值範圍，再由k的範圍來說明方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有實數根．解： 因為關於x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0沒有實數根，所以解得k＞4． 所以當k=5時，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0為一元一次方程，此時方程的根為． 當k≠5時，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0為一元二次方程 所以b2－4ac=[－2(k＋2)]2－4(k－5)·k =4(9k＋4) 因為k＞4，且k≠5，所以4(9k＋4)＞0，即b2－4ac＞0． 所以此時方程必有兩個不等實根． 綜上可知方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有實數根．總結： (1)方程“有實數根”與“有兩個實數根”有著質的區別，方程有實數根“表示方程可能為一元一次方程”，此時方程有一實數根，方程也可能為一元二次方程，此時方程有兩個實數根；而方程“有兩個實數根”則表示此時方程一定為一元二次方程； (2)運用根的判別式時，一定要注意其成立的前提條件是二次項係數不能為0，即方程是一元二次方程． 例10、用因式分解法解下列方程． (1)3(2x－5)2=4(5－2x)；(2)(3x－4)2=(4x－3)2；(3)9(2x＋3)2=25(1－3x)2．思路： 用因式分解法解方程時，一定要透過分解因式的方式，使方程的左邊變成積的因式，而右邊為零，(1)中可提取公因式2x－5，(2)、(3) 中沒有公因式，但發現可用平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)來分解．解： (1)原方程化為3(2x－5)2－4(5－2x)=0 即3(2x－5)2＋4(2x－5)=0 ∴(2x－5)[3(2x－5)＋4]=0 ∴； (2)移項，得(3x－4)2－(4x－3)2=0 方程左邊分解因式， 得[(3x－4)＋(4x－3)][(3x－4)－(4x－3)]=0 即(7x－7)(－x－1)=0 ∴x1=1，x2=－1； (3)移項，得9(2x＋3)2－25(1－3x)2=0 方程左邊分解因式， 得[3(2x＋3)＋5(1－3x)][3(2x＋3)－5(1－3x)]=0 即(14－9x)(21x－4)=0 ∴．總結： (1)在解方程中切忌在求解過程產生失根現象； (2)運用公式法分解因式必須先將其改寫成符合公式的特徵的形式，再進行因式分解．