如果矩陣A的秩不為0，則A可以進行滿秩分解A=FG,那麼A的偽逆為，這個表示式如果直觀地看上去比較難以理解，但是如果和以下的表示式進行對比就可以看出一些偽逆意義的端倪，，左式是線性代數中常用的投影矩陣（Projection, 所以用），可見，只有當的列向量是線性無關的時候，才可以求，該矩陣的作用是將任何向量投影到的列向量張成的空間上（即為投影后的結果，由此可見投影是一種線性變換）。大多數情況下一個線性方程組是沒有嚴格的精確解的，因為往往不在的列空間中，因此，我們只能在的列空間中找到唯一一個和之間的歐式距離最小的近似，很容易理解的是就是投影到的列空間上的結果，即,而我們希望求解這樣一個，使得，這樣的就是最小化誤差二範數的解，但是實際上，很多情況下，這樣的最小化誤差二範數的解的個數是不唯一的，而我們往往想要求解本身二範數最小的解，例如，在很多實際情況下，如果完成一件事耗費的資源是用二範數度量的，而我希望確定一種資源消費方式，使得總資源消耗最少，那麼就是一個最小化二範數解的問題，對於上式，左右兩邊同時乘以得到,接下來的目的就是求改方程組的一個最小二範數解，而這是一個已經被解決的問題，只要將任何一個特解投影到的行空間即可得到最小二範數解，注意，用代替中的即可得到投影到列空間的變換矩陣，但是由於我們現在要投影到的行空間上，所以要用代入到中，得到，那麼最終得到的解就是，注意一點是特解，這就意味著，因此，，從這裡就可以看見偽逆的出現了。實際上，偽逆來源於求解線性方程組，尤其是在實際生活中遇到互斥，多解方程組的情況下求解最小化二乘誤差，最小化二範數解，這將線性代數中用矩陣逆求解方程組的方法拓寬到非方正，奇異陣的情況，偽逆還和歐式空間最小范數問題相關，實際上，歐式空間的二範數在偽逆的求解中扮演了度量誤差和度量長度的作用，當然，也可用其它範數度量，如1範數，這會涉及到最小化1範數的問題。