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1 # 我的卡羅拉行車記錄
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2 # 砥礪前行ZZQ
通常我們講正交orthogonal矩陣都是指的實矩陣，在負數域中的推廣叫酉unitary矩陣，而我們一般所指的可對角化也是在給定數域中研究的，在複數域中一般也會強調成酉對角化。對於這個問題，我們一般說實對稱矩陣一定可以（實數意義上的）對角化（正規矩陣+特徵值是實數），(實數意義上的)正交矩陣一定可以(複數意義上的)酉對角化。希望對您有幫助。
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3 # 潘敏A
答不
實對稱矩陣一定可以對角化，並且可以要求相似變換矩陣是正交矩陣，即實對稱矩陣可以正交對角化。本文對該正交矩陣的構成進行了說明，並做了詳細的解釋。
Th設A是實對稱矩陣，則A可正交對角化，即存在正交矩陣P，使P-1AP=PTAP=∧。
下面說明正交矩陣的求解過程：先求一般的相似變換矩陣P1，然後由P1構造正交矩陣P，使P仍然是相似變換矩陣。
（2）對於A的每一個ni重特徵值λi，由（A-λiE）x=0求基礎解系Ii――含ni個向量。
Ii：αi1，αi2，…，αini
則Ii為A的對應於特徵值λi的ni個線性無關的特徵向量。
令P1=（I1，I2，…，Ik），
（3）對上述每組基礎解系Ii分別進行正交規範化得向量組Ji。
Ji：ei1，ei2，…，eini
則Ji為A的對應於特徵值λi的ni個長度為1且兩兩正交的特徵向量。
說明：由施密特正交化過程，Ii：αi1，αi2，…，αini
正交化得：
規範化得，
從上述過程易知，向量組Ji可由向量組Ii表出，即Ji中的任何向量都是αi1，αi2，…，αini的線性組合，從而一定是A的對應於特徵值λi的特徵向量。
（4）令P=（J1，J2，…，Jk），
說明：因為，P為正交矩陣？圳P的n個列向量是Rn的一組正交規範基，則從P中任取兩列，必正交，因為有兩種情況：（1）這兩列是屬於同一特徵值的特徵向量，因為這兩列來自正交規範向量組，從而必正交。（2）這兩列是屬於不同特徵值的特徵向量，因為實對稱矩陣屬於不同特徵值的特徵向量正交，從而必正交。
又每個向量都來自正交規範向量組，必是單位向量。
故P的n個列向量是Rn的一組正交規範基，從而P為正交矩陣。
定理的註釋：正交矩陣P是不唯一的，一方面P各列可以交換，同時對角矩陣主對角線相應元素進行交換，另一方面從P的構成上來看，由於J1，J2，…，Jk不唯一，P也唯一。
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4 # 思考思考的動物
（小石頭嘗試著來回答這個問題）
非常遺憾，正交矩陣不一定可以對角化，為什麼呢？
首先，我們知道，一個 n 階 方陣 A 可以對角化的充要條件是：
1. 特徵值有且僅有 n 個（可以重複）;
2. 對於 每個 特徵值 λᵢ，設 sᵢ 是它的重複數，則 r(A - λᵢE) = n-s；
方陣 A 的特徵值是 特徵方程 |A - λE| = 0 這個 一元n次多項式方程的根。根據高等代數基本定理，一元 n 次多項式方程，在複數域 C 內必然有 n 個根（包括重根）。因此，只有保證 條件2 就可以保證 複數方陣 一定可以對角化。
然而，正交矩陣 A 定義為：
在實數域 R 上，如果 n 階 矩陣 A 滿足 AAᵀ = E，即，A⁻¹ = Aᵀ，我們稱 A 為 正交矩陣。
這個定義說明，正交矩陣是 實數域 R上，於是就要求其特徵值必須是實數。而，我們無法保證 正交矩陣的特徵方程的n個根 一定都是實數。進而，也無法保證 條件1，即，A 一定有n個實數根，來構成對角化矩陣，於是也就無法保證 A 一定可以對角化。當然，更談不上 條件2 了。
另一方面，n 維向量空間 Rⁿ 上定義了 內積 後就稱為 歐氏空間，設
e₁, e₂, e₃, ..., e_n
是歐氏空間 Rⁿ 的一組基，又設， Rⁿ 中向量 a， b 在 這組基下的座標 分別是 X 和 Y，則有：
(a, b) = XᵀGY
其中，
稱為，度量矩陣。
當 e₁, e₂, e₃, ..., e_n 是標準單位正交基時，
G = E
這時，對於任意 向量 a， b 以及正交矩陣A 有：
(Aa, Ab) = (AX)ᵀE(AY) = (AX)ᵀ(AY) = (XᵀAᵀ)(AY) = Xᵀ(AᵀA)Y = XᵀEY = XᵀY = (a, b)
即，得到性質：
(Aa, Ab) = (a, b)
如果，歐氏空間 Rⁿ 上的線性變換 A 也滿足上面的性質，即，
(Aa, Ab) = (a, b)
我們就稱 A 是正交變換。
由於，正交變換 A，是定義在歐氏空間 Rⁿ 上的線性變換，因此，這就必然要求 A 在任何基下對應的矩陣是 實數矩陣。所以這就，反過要求， A 對應的 正交矩陣 A 的對角線化 矩陣 必須是實數的。
最後，將正交矩陣擴充套件到 複數域，就是 酉矩陣。那麼，酉矩陣一定可以對角化嗎？
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實對稱矩陣一定可以對角化，並且可以要求相似變換矩陣是正交矩陣，即實對稱矩陣可以正交對角化。本文對該正交矩陣的構成進行了說明，並做了詳細的解釋。
Th設A是實對稱矩陣，則A可正交對角化，即存在正交矩陣P，使P-1AP=PTAP=∧。
下面說明正交矩陣的求解過程：先求一般的相似變換矩陣P1，然後由P1構造正交矩陣P，使P仍然是相似變換矩陣。
（2）對於A的每一個ni重特徵值λi，由（A-λiE）x=0求基礎解系Ii――含ni個向量。
Ii：αi1，αi2，…，αini
則Ii為A的對應於特徵值λi的ni個線性無關的特徵向量。
令P1=（I1，I2，…，Ik），
（3）對上述每組基礎解系Ii分別進行正交規範化得向量組Ji。
Ji：ei1，ei2，…，eini
則Ji為A的對應於特徵值λi的ni個長度為1且兩兩正交的特徵向量。
說明：由施密特正交化過程，Ii：αi1，αi2，…，αini
正交化得：
規範化得，
從上述過程易知，向量組Ji可由向量組Ii表出，即Ji中的任何向量都是αi1，αi2，…，αini的線性組合，從而一定是A的對應於特徵值λi的特徵向量。
（4）令P=（J1，J2，…，Jk），
說明：因為，P為正交矩陣？圳P的n個列向量是Rn的一組正交規範基，則從P中任取兩列，必正交，因為有兩種情況：（1）這兩列是屬於同一特徵值的特徵向量，因為這兩列來自正交規範向量組，從而必正交。（2）這兩列是屬於不同特徵值的特徵向量，因為實對稱矩陣屬於不同特徵值的特徵向量正交，從而必正交。
又每個向量都來自正交規範向量組，必是單位向量。
故P的n個列向量是Rn的一組正交規範基，從而P為正交矩陣。
定理的註釋：正交矩陣P是不唯一的，一方面P各列可以交換，同時對角矩陣主對角線相應元素進行交換，另一方面從P的構成上來看，由於J1，J2，…，Jk不唯一，P也不唯一。