把問題轉化為，任取三角形內部一點，什麼時候經過這點的直線平分面積有不止一個解。

那我們先來看什麼時候有解。然後再來看解不止一個的情況。

記三角形為 ，三角形內任意一點為 . 那麼有凸組合 ，其中 . 所以有向量組合 .

假設直線 經過 並且 ， ，其中 . 那麼必然有 .

如果我們要求三角形 是整個的一半，那就必須要 這個方程有解. 可以看出 是關於 的二次函式，所以如果要有解，必須是滿足以下兩種情況：

兩個端點處（ 和 時）滿足 不同號端點處同號（事實上只能是 ），但是能在對稱軸處取到 .

1的情況畫出來是這樣一個區域（虛線都是中線）：

其實這是平凡的情況，因為當頂點（ ）變動的時候，這些都是兩兩不相交的，不會出現多個解。

2如果有解，需要首先保證二次函式的對稱軸落在可行域裡面。對稱軸的條件是 （這裡其實不必真的把二次函式寫出來，均值不等式就好了）。所以要使得 ，就必須有 . 在此基礎上，要使得對稱軸處函式值滿足 ，可以解到 ，這是一條雙曲線. 所以這樣畫出來是這麼一個區域（虛線是中線和中位線）：

注意到中心 滿足 ，所以一定在上面的雙曲線的裡面。而中線和中位線的交點 滿足 ，恰好在雙曲線上。（一開始算錯了……感謝 @張楚星 指正）

那麼最後的結果就是這樣一個形狀了（虛線是中位線，三個角是中位線的中點，中間是三段雙曲線）：