△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量j垂直於向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)在向量等式兩邊同乘向量j,得·j·（AC+CB）=j·AB∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)=│j││AB│cos(90°-A)∴asinC=csinA （AB的模=c，cos（90º-C）=sinC）（CB的模=a，cos（90º-A）=sinA∴a/sinA=c/sinC 同理，過點C作與向量CB垂直的單位向量j，可得c/sinC=b/sinB

步驟1記向量i ,使i垂直於AC於C,△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c∴a+b+c=0則i（a+b+c）=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△ABC中,設BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足為點H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB 同理,在△ABC中,b/sinB=c/sinC 步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O於D.連線DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度 因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等於∠C.所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R 類似可證其餘兩個等式。