首先我們從數學角度進行分析：
圓等分成360份，每一份1度圓心角對應的圓弧長為a=πr/180，則半徑r與a所圍的面積近似於一個三角形的面積，設高為h則h=√[1-(π/180)^2]*r一個三角形的面積=ah/2=(πr^2/2)*√[1-2π/180^2]*(1/180)360個全等三角形的面積之和為圓面積，s=360*(πr^2/2)*√[1-2π/180^2]*(1/180)=πr^2)*√[1-2π/180^2]2π/180^2近似等於0所以s=πr^2
這個公式作為公理是無任何問題的。
下面我們再從歷史的角度進行分析：
用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積並以此求取圓周率。
"圜，一中同長也"。意思是說:圓只有一箇中心，圓周上每一點到中心的距離相等。早在中國先秦時期，《墨經》上就已經給出了圓的這個定義，而公元前11世紀，中國西周時期數學家商高也曾與周公討論過圓與方的關係。認識了圓，人們也就開始了有關於圓的種種計算，特別是計算圓的面積。中國古代數學經典《九章算術》在第一章"方田"章中寫到"半周半徑相乘得積步"，也就是我們現在所熟悉的公式。
他認為，圓內接正多邊形的面積與圓面積都有一個差，用有限次數的分割、拼補，是無法證明《九章算術》的圓面積公式的。因此劉徽大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明。他從圓內接正六邊形開始割圓，"割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣。"也就是說將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍，則它們與圓面積的差就越來越小，而當邊數不能再加的時候，圓內接正多邊形的面積的極限就是圓面積。劉徽考察了內接多邊形的面積，也就是它的"冪"，同時提出了"差冪"的概念。"差冪" 是後一次與前一次割圓的差值，可以用圖中陰影部分三角形的面積來表示。同時，它與兩個小黃三角形的面積和相等。劉徽指出，在用圓內接正多邊形逼近圓面積的過程中，圓半徑在正多邊形與圓之間有一段餘徑。以餘徑乘正多邊形的邊長，即2倍的"差冪"，加到這個正多邊形上，其面積則大於圓面積。這是圓面積的一個上界序列。劉徽認為，當圓內接正多邊形與圓是合體的極限狀態時，"則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣。"就是說，餘徑消失了，餘徑的長方形也就不存在了。因而，圓面積的這個上界序列的極限也是圓面積。於是內外兩側序列都趨向於同一數值，即，圓面積。
首先我們從數學角度進行分析：
圓等分成360份，每一份1度圓心角對應的圓弧長為a=πr/180，則半徑r與a所圍的面積近似於一個三角形的面積，設高為h則h=√[1-(π/180)^2]*r一個三角形的面積=ah/2=(πr^2/2)*√[1-2π/180^2]*(1/180)360個全等三角形的面積之和為圓面積，s=360*(πr^2/2)*√[1-2π/180^2]*(1/180)=πr^2)*√[1-2π/180^2]2π/180^2近似等於0所以s=πr^2
這個公式作為公理是無任何問題的。
下面我們再從歷史的角度進行分析：
用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積並以此求取圓周率。
"圜，一中同長也"。意思是說:圓只有一箇中心，圓周上每一點到中心的距離相等。早在中國先秦時期，《墨經》上就已經給出了圓的這個定義，而公元前11世紀，中國西周時期數學家商高也曾與周公討論過圓與方的關係。認識了圓，人們也就開始了有關於圓的種種計算，特別是計算圓的面積。中國古代數學經典《九章算術》在第一章"方田"章中寫到"半周半徑相乘得積步"，也就是我們現在所熟悉的公式。
他認為，圓內接正多邊形的面積與圓面積都有一個差，用有限次數的分割、拼補，是無法證明《九章算術》的圓面積公式的。因此劉徽大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明。他從圓內接正六邊形開始割圓，"割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣。"也就是說將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍，則它們與圓面積的差就越來越小，而當邊數不能再加的時候，圓內接正多邊形的面積的極限就是圓面積。劉徽考察了內接多邊形的面積，也就是它的"冪"，同時提出了"差冪"的概念。"差冪" 是後一次與前一次割圓的差值，可以用圖中陰影部分三角形的面積來表示。同時，它與兩個小黃三角形的面積和相等。劉徽指出，在用圓內接正多邊形逼近圓面積的過程中，圓半徑在正多邊形與圓之間有一段餘徑。以餘徑乘正多邊形的邊長，即2倍的"差冪"，加到這個正多邊形上，其面積則大於圓面積。這是圓面積的一個上界序列。劉徽認為，當圓內接正多邊形與圓是合體的極限狀態時，"則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣。"就是說，餘徑消失了，餘徑的長方形也就不存在了。因而，圓面積的這個上界序列的極限也是圓面積。於是內外兩側序列都趨向於同一數值，即，圓面積。