(應邀回答)
在 關於 數域 K 的 線性空間 X 上，定義的實值函式 ‖·‖ : X → R，如果滿足：
正定性：對於任意 x ∈ X 有 ‖x‖ ≥ 0，並且 ‖x‖ = 0 當且僅當 x = 0；
三角不等式：對於任意 x, y ∈ X 有 ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖；
齊次性：對於x ∈ X，λ ∈ K，有 ‖λx‖ = |λ|‖x‖；
則稱 ‖·‖ 為範數，有了範數的 線性空間 稱為 賦範空間。
例如，在 n 維向量空間 Kⁿ 中，對於任意 向量 x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ Kⁿ，定義範數：
稱為 p 範數，對於 p 取不同的值 1, 2, ...，都有一個對應的範數 ‖·‖₁，‖·‖₂, ... 。
這個例子說明，同一個線性空間上可以有不同的範數。那麼大家自然會思考，這些範數之間是否有共同特性呢？
當然，人們最早發現的是，可以透過 範數 輕鬆的 定義 距離函式：
我們，很方便驗證這個定義的良性（即，符合 距離函式 的 三大條件：正定性、對稱性、三角不等式），如此以來 賦範空間 也就是 度量空間。於是，自然可以將 度量空間 中的 序列收斂性 引入 賦範空間：
序列 {x_n} 的收斂性（稱為 依範數收斂）：
接著，就可以利用 序列的收斂性對 範數進行分類了，具體方法如下：
對於 賦範空間 X 上的 任意 兩個 範數 ‖·‖_a，‖·‖_b，如果 對於任意 序列 {x_n} 只要 在 ‖·‖_a 下收斂，則必然在 ‖·‖_b下收斂，即，
當 n → ∞ 時，有 ‖x_n‖_a → 0 ⇒ ‖x_n‖_b → 0，
我們 則 稱 ‖·‖_a 強於 ‖·‖_b。
注意：只需要滿足 序列收斂於 0 的情況，就等於滿足了 序列收斂於任意 向量 a 的情況。
如果 ‖·‖_a 強於 ‖·‖_b 並且 ‖·‖_b 強於 ‖·‖_a，則 稱 ‖·‖_a 和 ‖·‖_b 等價。
當然這個 範數等價的 定義是很難被使用的，幸運的是我們發現： 在賦範空間 X 中 ‖·‖_a 強於 ‖·‖_b 當且僅當 可以找到 正實數 c > 0，使得 對於任意 x ∈ X 不等式
恆成立。這樣相當於 存在 正實數 c‘ = 1/c ，滿足不等式 c"‖x‖_b ≤ ‖x‖_a。
於是，‖·‖_a 和 ‖·‖_b 等價 當且僅當 存在 c₁, c₂ > 0 , 使得 對於任意 x ∈ X 滿足不等式：
接著，我們就可以利用這個判別方法，來證明：數域 K 上 的 n 維度賦範空間 X 中，所有範數都等價。
首先，我們在 X 中選擇，一組基 {e₁, e₂, ..., e_n}，則對於 X 中的任意向量 x 可以 唯一的表示為 :
也就是說，存在一個 一一對應的 雙射 f: X → Kⁿ
於是 利用 根據前面 Kⁿ 的 p 範數，可以定義 X 上的範數：
而對於 任意 X 上的 範數 ‖·‖ ，根據 範數的 三角不等式 和 齊次性，有：
到這裡，我們需要引入一個重要不等式，Cauchy 不等式： 對於任意兩個實數序列 {a_n} 和 {b_n} 恆有：
Cauchy 不等式 可以變形為：
於是，有：
令，
最終，我們得到不等式：
這就證明了 ‖·‖_f 強於 任意 範數 ‖·‖，接著證明另外一半。
利用 f 的可逆性，對於任意 X 上的 範數 ‖·‖， 我們可以定義相關的 Kⁿ 上的函式 g: Kⁿ → R，如下：
同時，我們 利用 ‖·‖₂ 在 Kⁿ 中還可以定義一個單位球面：
由於，由於 基 線性無關，而 S 上的點 不可能 x₁, x₂, ..., x_n 全 0，於是該點對應的 向量 x 不是零向量，故有：
另外，因為，
故，
這說明，g 還是連續函式。
而，我們知道 透過度量空間 的度量函式 可以誘匯出 度量拓撲，從而 使得 度量空間 成為 拓撲空間。所以 g 也是 拓撲空間 Kⁿ 到 R 的連續函式。
可以證明，球面 S 在 Kⁿ 中 是 緊緻子集。然後，根據拓撲學中的性質：
緊緻子集 在 連續函式 下的 像 也是 緊緻子集。
可以得出 g(S) 是 R 中的緊緻子集。然後，再根據，實數 重要性質：
實數的 緊緻子集 必然 閉有界。
可以得出，存在 c₁ ∈ R 是 g(S) 的下確界，即：
而 上面已經證明了，g 在 S 上 大於 0，於是 c₁ > 0。
對於，任意 x ∈ X 令，
則，
於是有，
最後得到：
即， 任意 範數 ‖·‖ 也 強於 ‖·‖_f 。
綜上，就在證明了 任意 範數 ‖·‖ 和 ‖·‖_f 等價。
而 對於 X 上的 任意兩個 範數 ‖·‖_a 和 ‖·‖_b ，由於 ‖·‖_a 和 ‖·‖_f 等價 並且 ‖·‖_f 和 ‖·‖_b 等價 ，根據等價關係 的傳遞性，可以得出：‖·‖_a 和 ‖·‖_b 等價。
問題得證。
這個問題是《泛函分析》中有限維賦範空間的重要性質。證明的前半部分，非常簡單。而後半部分因為涉及到《一般拓撲學》的一些性質，所以，我寫的比較詳細。
證明中，用到的性質 和 定理，因篇幅關係 我沒有給出 證明，有興趣可以參考相關文獻。
(應邀回答)
在 關於 數域 K 的 線性空間 X 上，定義的實值函式 ‖·‖ : X → R，如果滿足：
正定性：對於任意 x ∈ X 有 ‖x‖ ≥ 0，並且 ‖x‖ = 0 當且僅當 x = 0；
三角不等式：對於任意 x, y ∈ X 有 ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖；
齊次性：對於x ∈ X，λ ∈ K，有 ‖λx‖ = |λ|‖x‖；
則稱 ‖·‖ 為範數，有了範數的 線性空間 稱為 賦範空間。
例如，在 n 維向量空間 Kⁿ 中，對於任意 向量 x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ Kⁿ，定義範數：
稱為 p 範數，對於 p 取不同的值 1, 2, ...，都有一個對應的範數 ‖·‖₁，‖·‖₂, ... 。
這個例子說明，同一個線性空間上可以有不同的範數。那麼大家自然會思考，這些範數之間是否有共同特性呢？
當然，人們最早發現的是，可以透過 範數 輕鬆的 定義 距離函式：
我們，很方便驗證這個定義的良性（即，符合 距離函式 的 三大條件：正定性、對稱性、三角不等式），如此以來 賦範空間 也就是 度量空間。於是，自然可以將 度量空間 中的 序列收斂性 引入 賦範空間：
序列 {x_n} 的收斂性（稱為 依範數收斂）：
接著，就可以利用 序列的收斂性對 範數進行分類了，具體方法如下：
對於 賦範空間 X 上的 任意 兩個 範數 ‖·‖_a，‖·‖_b，如果 對於任意 序列 {x_n} 只要 在 ‖·‖_a 下收斂，則必然在 ‖·‖_b下收斂，即，
當 n → ∞ 時，有 ‖x_n‖_a → 0 ⇒ ‖x_n‖_b → 0，
我們 則 稱 ‖·‖_a 強於 ‖·‖_b。
注意：只需要滿足 序列收斂於 0 的情況，就等於滿足了 序列收斂於任意 向量 a 的情況。
如果 ‖·‖_a 強於 ‖·‖_b 並且 ‖·‖_b 強於 ‖·‖_a，則 稱 ‖·‖_a 和 ‖·‖_b 等價。
當然這個 範數等價的 定義是很難被使用的，幸運的是我們發現： 在賦範空間 X 中 ‖·‖_a 強於 ‖·‖_b 當且僅當 可以找到 正實數 c > 0，使得 對於任意 x ∈ X 不等式
恆成立。這樣相當於 存在 正實數 c‘ = 1/c ，滿足不等式 c"‖x‖_b ≤ ‖x‖_a。
於是，‖·‖_a 和 ‖·‖_b 等價 當且僅當 存在 c₁, c₂ > 0 , 使得 對於任意 x ∈ X 滿足不等式：
接著，我們就可以利用這個判別方法，來證明：數域 K 上 的 n 維度賦範空間 X 中，所有範數都等價。
首先，我們在 X 中選擇，一組基 {e₁, e₂, ..., e_n}，則對於 X 中的任意向量 x 可以 唯一的表示為 :
也就是說，存在一個 一一對應的 雙射 f: X → Kⁿ
於是 利用 根據前面 Kⁿ 的 p 範數，可以定義 X 上的範數：
而對於 任意 X 上的 範數 ‖·‖ ，根據 範數的 三角不等式 和 齊次性，有：
到這裡，我們需要引入一個重要不等式，Cauchy 不等式： 對於任意兩個實數序列 {a_n} 和 {b_n} 恆有：
Cauchy 不等式 可以變形為：
於是，有：
令，
最終，我們得到不等式：
這就證明了 ‖·‖_f 強於 任意 範數 ‖·‖，接著證明另外一半。
利用 f 的可逆性，對於任意 X 上的 範數 ‖·‖， 我們可以定義相關的 Kⁿ 上的函式 g: Kⁿ → R，如下：
同時，我們 利用 ‖·‖₂ 在 Kⁿ 中還可以定義一個單位球面：
由於，由於 基 線性無關，而 S 上的點 不可能 x₁, x₂, ..., x_n 全 0，於是該點對應的 向量 x 不是零向量，故有：
另外，因為，
故，
這說明，g 還是連續函式。
而，我們知道 透過度量空間 的度量函式 可以誘匯出 度量拓撲，從而 使得 度量空間 成為 拓撲空間。所以 g 也是 拓撲空間 Kⁿ 到 R 的連續函式。
可以證明，球面 S 在 Kⁿ 中 是 緊緻子集。然後，根據拓撲學中的性質：
緊緻子集 在 連續函式 下的 像 也是 緊緻子集。
可以得出 g(S) 是 R 中的緊緻子集。然後，再根據，實數 重要性質：
實數的 緊緻子集 必然 閉有界。
可以得出，存在 c₁ ∈ R 是 g(S) 的下確界，即：
而 上面已經證明了，g 在 S 上 大於 0，於是 c₁ > 0。
對於，任意 x ∈ X 令，
則，
於是有，
最後得到：
即， 任意 範數 ‖·‖ 也 強於 ‖·‖_f 。
綜上，就在證明了 任意 範數 ‖·‖ 和 ‖·‖_f 等價。
而 對於 X 上的 任意兩個 範數 ‖·‖_a 和 ‖·‖_b ，由於 ‖·‖_a 和 ‖·‖_f 等價 並且 ‖·‖_f 和 ‖·‖_b 等價 ，根據等價關係 的傳遞性，可以得出：‖·‖_a 和 ‖·‖_b 等價。
問題得證。
這個問題是《泛函分析》中有限維賦範空間的重要性質。證明的前半部分，非常簡單。而後半部分因為涉及到《一般拓撲學》的一些性質，所以，我寫的比較詳細。
證明中，用到的性質 和 定理，因篇幅關係 我沒有給出 證明，有興趣可以參考相關文獻。