透過矩陣來研究二次函式（方程），這就是線性代數中二次型的重點。

1 二次函式（方程）的特點

1.1 二次函式

最簡單的一元二次函式就是：

給它增加一次項不會改變形狀：

增加常數項就更不用說了，更不會改變形狀。

1.2 二次方程

下面是一個二元二次方程：

給它增加一次項也不會改變形狀，只是看上去有些伸縮：

1.3 小結

對於二次函式或者二次方程，二次部分是主要部分，往往研究二次這部分就夠了。

2 透過矩陣來研究二次方程

因為二次函式（方程）的二次部分最重要，為了方便研究，我們把含有 個變數的二次齊次函式：

稱為二次型。

2.1 二次型矩陣

實際上我們可以透過矩陣來表示二次型：

更一般的：

可以寫成更線代的形式：

所以有下面一一對應的關係：

線上代裡面，就是透過一個對稱矩陣，去研究某個二次型。

2.2 透過矩陣來研究有什麼好處

2.2.1 圓錐曲線

我們來看下，這是一個圓：

我們來看改變一下二次型矩陣：

哈，原來橢圓和圓之間是線性關係吶（透過矩陣變換就可以從圓變為橢圓）。

繼續：

咦，雙曲線和圓之間也是線性關係。

其實圓、橢圓、雙曲線之間關係很緊密的，統稱為圓錐曲線，都是圓錐體和平面的交線：

2.2.2 規範化

再改變下矩陣：

這個橢圓看起來有點歪，不太好處理，我們來把它扶正，這就叫做規範化。

如果我們對矩陣有更深刻的認識，那麼要把它扶正很簡單。

往下讀之前，請先參看我在 如何理解特徵值 下的回答。

首先，矩陣代表了運動，包含：

旋轉拉伸投影

對於方陣，因為沒有維度的改變，所以就沒有投影這個運動了，只有：

旋轉拉伸

具體到上面的矩陣：

我把這個矩陣進行特徵值分解：

注意我上面提到的正交很重要，為什麼重要，可以參看我在 如何理解特徵值 。

對於二次型矩陣，都是對稱矩陣，所以特徵值分解總可以得到正交矩陣與對角矩陣。

特徵值分解實際上就是把運動分解了：

那麼我們只需要保留拉伸部分，就相當於把矩陣扶正（圖中把各自圖形的二次型矩陣標註出來了）：

所以，用二次型矩陣進行規範化是非常輕鬆的事情。

2.2.3 正定

正定是對二次函式有效的一個定義，對方程無效。

對於二次型函式， ：

，則 為正定二次型， 為正定矩陣 ，則 為半正定二次型， 為半正定矩陣 ，則 為負定二次型， 為負定矩陣 ，則 為半負定二次型， 為半負定矩陣以上皆不是，就叫做不定

從影象上看，這是正定：

半正定：

不定：

既然二次型用矩陣來表示了，那麼我們能否透過矩陣來判斷是否正定呢？

下面我分別給出了二次型的圖形，以及對應的特徵值矩陣的圖形，你可以自己動手試試(3D視窗可以透過滑鼠旋轉，方便觀察)，得出自己的結論：

3 總結

在很多學科裡，二次型都是主要研究物件，很多問題都可以轉為二次型。線代作為一門數學工具，在二次型的研究中也發揮了很好的作用。

最新版本（可能有後繼更新）：如何理解二次型？