如果, 那麼是單調遞增函式或者常函式, 因此, 因此同理, 時命題也成立剩餘一種情況是這裡我們把看做變數, 看成常量, 考察函式在上的值這不是一個簡單的函式, 如果用mathematica繪製它的影象, 會發現這個函式在常數的不同取值下, 函式影象的單調性, 凸性是不一樣的, 而且在多次求導之後, 函式仍然沒有很簡單的性質.首先對這個函式求導注意到兩點1, 最後一個表示式由兩項組成, 並且這兩項的符號正好相反2, 下面我們定義一個名詞好函式 一個函式為好函式, 如果它定義域為, 並且滿足下面4種性質之一:性質1, 恆成立性質2, 恆成立性質3, 的正負號先正後負性質4, 的正負號先負後正下面我們分四步證明原命題1, 對任意, 存在使得滿足性質12, 對任意, 若是好函式, 那麼也是好函式3, 我們必定有是好函式, 或者:先遞減再遞增, 符號先正後負再正4, 在3基礎上證明原命題證明第1步: 對任意, 存在使得滿足性質1首先證明一個引理對任意, 存在使得這要用到斯特林公式最後的式子中, , 因此存在, 只要就有另一方面, 解不等式得到因此只要當就可以了接著其中我們只要再要求為奇數就找到了滿足性質1的階導數證明第2步: 對任意, 若是好函式, 那麼也是好函式1, 如果滿足性質1或性質2, 那麼是單調函式, 那麼它要麼保持同號, 要麼先正後負, 要麼先負後正, 結論成立2, 如果滿足性質3, 先正後負, 根據前面對在趨於0的觀察, 必須是奇數, 並且,的導數先正後負, 因此先遞增, 後遞減考察, 這裡我們斷言它一定是一個正數否則, 而這是不可能的因此先遞增, 後遞減, 並且在左端為負無窮, 右端為正數, 因此它滿足性質43, 如果滿足性質4, 先負後正, 根據前面對在趨於0的觀察, 必須是偶數, 並且我們類似論證的導數先負後正, 因此先遞減, 後遞增考察, 這裡我們斷言它一定是一個負數, 否則, 而這當的時候是不可能的因此先遞減, 後遞增, 並且在左端為正無窮, 右端為負數, 因此它滿足性質3證明第3步由第1步知道存在一個使得是一個好函式, 根據2可以知道是個好函式, 並且因為, 所以它要麼恆為負數, 要麼先負後正因此要麼遞減, 要麼先遞減後遞增分三種情況討論1, 如果遞減, 那麼它是好函式2, 如果先遞減後遞增, 並且, 那麼它也是好函式3, 如果先遞減後遞增, 並且, 那麼先正後負再正證明第4步考慮到, 根據第3步的結論, 要麼是好函式, 要麼先遞減後遞增, 符號先正後負再正1, 是好函式這種情況下, 要麼恆為正數, 要麼先正後負要麼單調遞增, 要麼先增後減, 可以看到的最小值在兩端取到, 因此對2, 先遞減後遞增, 符號先正後負再正這是的任意階導數中唯一可能不是好函式的情況, 實際上是可以發生的, 當, 是一個比較小的數的時候是這樣的, 具體可以用mathematica繪製函式影象, 當時, 的影象分別如下這時在上有兩個零點, 在第二個零點處取到極小值我們記這個零點為, 並證明根據中值定理注意到在上是單調遞增的, 因此因此對恆成立
如果, 那麼是單調遞增函式或者常函式, 因此, 因此同理, 時命題也成立剩餘一種情況是這裡我們把看做變數, 看成常量, 考察函式在上的值這不是一個簡單的函式, 如果用mathematica繪製它的影象, 會發現這個函式在常數的不同取值下, 函式影象的單調性, 凸性是不一樣的, 而且在多次求導之後, 函式仍然沒有很簡單的性質.首先對這個函式求導注意到兩點1, 最後一個表示式由兩項組成, 並且這兩項的符號正好相反2, 下面我們定義一個名詞好函式 一個函式為好函式, 如果它定義域為, 並且滿足下面4種性質之一:性質1, 恆成立性質2, 恆成立性質3, 的正負號先正後負性質4, 的正負號先負後正下面我們分四步證明原命題1, 對任意, 存在使得滿足性質12, 對任意, 若是好函式, 那麼也是好函式3, 我們必定有是好函式, 或者:先遞減再遞增, 符號先正後負再正4, 在3基礎上證明原命題證明第1步: 對任意, 存在使得滿足性質1首先證明一個引理對任意, 存在使得這要用到斯特林公式最後的式子中, , 因此存在, 只要就有另一方面, 解不等式得到因此只要當就可以了接著其中我們只要再要求為奇數就找到了滿足性質1的階導數證明第2步: 對任意, 若是好函式, 那麼也是好函式1, 如果滿足性質1或性質2, 那麼是單調函式, 那麼它要麼保持同號, 要麼先正後負, 要麼先負後正, 結論成立2, 如果滿足性質3, 先正後負, 根據前面對在趨於0的觀察, 必須是奇數, 並且,的導數先正後負, 因此先遞增, 後遞減考察, 這裡我們斷言它一定是一個正數否則, 而這是不可能的因此先遞增, 後遞減, 並且在左端為負無窮, 右端為正數, 因此它滿足性質43, 如果滿足性質4, 先負後正, 根據前面對在趨於0的觀察, 必須是偶數, 並且我們類似論證的導數先負後正, 因此先遞減, 後遞增考察, 這裡我們斷言它一定是一個負數, 否則, 而這當的時候是不可能的因此先遞減, 後遞增, 並且在左端為正無窮, 右端為負數, 因此它滿足性質3證明第3步由第1步知道存在一個使得是一個好函式, 根據2可以知道是個好函式, 並且因為, 所以它要麼恆為負數, 要麼先負後正因此要麼遞減, 要麼先遞減後遞增分三種情況討論1, 如果遞減, 那麼它是好函式2, 如果先遞減後遞增, 並且, 那麼它也是好函式3, 如果先遞減後遞增, 並且, 那麼先正後負再正證明第4步考慮到, 根據第3步的結論, 要麼是好函式, 要麼先遞減後遞增, 符號先正後負再正1, 是好函式這種情況下, 要麼恆為正數, 要麼先正後負要麼單調遞增, 要麼先增後減, 可以看到的最小值在兩端取到, 因此對2, 先遞減後遞增, 符號先正後負再正這是的任意階導數中唯一可能不是好函式的情況, 實際上是可以發生的, 當, 是一個比較小的數的時候是這樣的, 具體可以用mathematica繪製函式影象, 當時, 的影象分別如下這時在上有兩個零點, 在第二個零點處取到極小值我們記這個零點為, 並證明根據中值定理注意到在上是單調遞增的, 因此因此對恆成立