反對 @馬同學 的高贊答案，圖示很好，結論也是對的，但是如果我沒會錯意的話，推導部分存在邏輯錯誤，至少是不嚴謹。
首先函式連續等價於f (x，y)=f(x0，y0)+ο(Δx)就錯了，但這應該只是個小筆誤。
我貼出兩種方法證明“若f(x，y)在A點其中一個偏導數連續，另一個偏導數存在，則f(x，y)在該點可微”的證明，第一張是高贊答案的推導，第二張是正確的推導（字醜見諒）。為了更加清楚，我特意把高階無窮小量一律寫成無窮小乘相應低階量的形式，注意兩個推導的區別。
高贊答案的推導直接從一元函式微分的定義出發，認為f(C)-f(B)=fy(B)Δy+ο(Δy)，然而這是在取定B點，f(x0+Δx，y)僅是關於y的一元函式的情況下成立的。後面當(Δx，Δy)→(0，0)時，卻不加證明地認為上式中的ο(Δy)在該極限過程中依然是Δy的高階無窮小，混淆了無窮小量的不同極限過程，或者更具體地說，未加任何說明就認為有lim[f(x，y)-f(x，y0)]/(y-y0)-fy(x，y0)=limlim[f(x，y)-f(x，y0)]/(y-y0)-fy(x，y0)=0，這是沒有道理的。
事實上可以看出，方法一的推導過程中實際並沒有用到“fy在A點連續”這一條件，而是隻用到了更弱的條件“fy(x，y0)作為x的一元函式在點A處連續”，這減弱後的條件依然能保證fy(B)=fy(A)+ο(1)，也就是高贊答案中說的，“因為fy連續，所以fy(B)和fy(A)相差不大”。(實際上，起作用的是fy(D)和fy(A)“相差不大”，而不是fy(B))。若其推導成立，則減弱後的命題自然也應成立，然而這減弱後的命題是錯誤的：例如函式f(x，y)=xy^2/(x^2+y^4)，(x，y)≠(0，0)；f(0，0)=0，這函式在(0，0)處fx和fy都存在，fy(x，0)在x=0處連續，然而這函式卻在(0，0)不可微，甚至不連續，這正是因為fy作為二元函式在(0，0)點不連續的緣故。
反對 @馬同學 的高贊答案，圖示很好，結論也是對的，但是如果我沒會錯意的話，推導部分存在邏輯錯誤，至少是不嚴謹。
首先函式連續等價於f (x，y)=f(x0，y0)+ο(Δx)就錯了，但這應該只是個小筆誤。
我貼出兩種方法證明“若f(x，y)在A點其中一個偏導數連續，另一個偏導數存在，則f(x，y)在該點可微”的證明，第一張是高贊答案的推導，第二張是正確的推導（字醜見諒）。為了更加清楚，我特意把高階無窮小量一律寫成無窮小乘相應低階量的形式，注意兩個推導的區別。
高贊答案的推導直接從一元函式微分的定義出發，認為f(C)-f(B)=fy(B)Δy+ο(Δy)，然而這是在取定B點，f(x0+Δx，y)僅是關於y的一元函式的情況下成立的。後面當(Δx，Δy)→(0，0)時，卻不加證明地認為上式中的ο(Δy)在該極限過程中依然是Δy的高階無窮小，混淆了無窮小量的不同極限過程，或者更具體地說，未加任何說明就認為有lim[f(x，y)-f(x，y0)]/(y-y0)-fy(x，y0)=limlim[f(x，y)-f(x，y0)]/(y-y0)-fy(x，y0)=0，這是沒有道理的。
事實上可以看出，方法一的推導過程中實際並沒有用到“fy在A點連續”這一條件，而是隻用到了更弱的條件“fy(x，y0)作為x的一元函式在點A處連續”，這減弱後的條件依然能保證fy(B)=fy(A)+ο(1)，也就是高贊答案中說的，“因為fy連續，所以fy(B)和fy(A)相差不大”。(實際上，起作用的是fy(D)和fy(A)“相差不大”，而不是fy(B))。若其推導成立，則減弱後的命題自然也應成立，然而這減弱後的命題是錯誤的：例如函式f(x，y)=xy^2/(x^2+y^4)，(x，y)≠(0，0)；f(0，0)=0，這函式在(0，0)處fx和fy都存在，fy(x，0)在x=0處連續，然而這函式卻在(0，0)不可微，甚至不連續，這正是因為fy作為二元函式在(0，0)點不連續的緣故。