（小石頭來回答這個過期的問題，雖然註定沒有推薦到首頁的機會，但是撓率和曲率在一起，依然構成《曲線論》中的最重要概念，因此值得我們認真對待。）
三維空間的曲線，除了可以用兩個曲面方程組成的方程組（兩個曲面的交線就是曲線）來表示外，還可以表示為引數形式，即, t ∈ I = [a, b] ⊂ R ，
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
仿照，空間中一個點對應一個向量 a = (x, y, z)，將一個空間曲線（引數方程）寫成以 函式為 元素的 向量
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
稱之為 向量函式，它是 區間 I 到 R³ 的對映，即，r : I → R³。
向量函式 除了具有普通 向量 的性質和運算外，我們還在其上定義導數：
對於任意曲線 r(t)，
我們在 引數 區間 [a, b] 中插入：
a = t₁ < ... < t_{n+1} = b
它們將 曲線 r(t) 分成任意多小段，對於其中每一小段 Δtᵢ = tᵢ₊₁ - tᵢ ( > 0)，其對應的弧長約等於 弦長：
Δsᵢ =|r(tᵢ + Δtᵢ) - r( tᵢ)|
令，λ = max{Δtᵢ, i = 1, 2, ...., n}，則根據黎曼積分，曲線 r(t) 的弧長有：
可對 曲線 r(t) 的引數進行轉換，這裡設：
即，
s"(t) = |r"(t)|
於是有：
t = t(s) = s⁻¹(t)
重設，
r(s) = r(t(s))
稱 s 為曲線 r(s) 的 自然引數，令，α(s) = r"(s)，則滿足：
|α(s)| = 1
稱，α(s) 是 曲線 r(s) 的單位切向量。
考慮 α"(s)，
利用，|α(s)| = |α(s + Δs)| = 1，以及 《高等數學》 中透過 夾逼定理的得出的重要極限：
有：
於是，令 κ(s) =|α"(s)| ，則 κ(s) 表示 α(s) 的轉動速率，稱為 曲線 r(s) 的 曲率。
根據，定理1：
如果 |a(t)| = C（常數） 則 a(t)⋅a"(t) = 0
由 |α(s)| = 1 ，有：
α(s)⋅α"(s) = 0
再，根據內積的定義：
a ⋅ b = |a||b| cos ∠ab
|α(s)||α"(s)| cos∠α(s)α"(s) = κ(s) cos∠α(s)α"(s) = 0
當 κ(s) ≠ 0 時，有：
cos∠α(s)α"(s) = 0
這說明，α"(s) ⊥ α(s)，於是，令：
α"(s) = κ(s)β(s) （即， β(s) = α"(s) / κ(s) ）
則有 |β(s)| = 1， 並且 β(s) ⊥ α(s) ，稱 β(s) 為 曲線 r(s) 的單位主法向量。
然後，再利用外積，令：
γ(s) = α(s) × β(s)
根據上面的結果，以及外積的定義：
c =|a × b| = |a||b| sin ∠ab
c ⊥ a, b 並且 滿足右手螺旋法則
知道，|γ(s)| = 1, γ(s) ⊥ α(s) , β(s) ，稱 γ(s) 為 曲線 r(s) 的單位次法向量。
到此，對於曲線 r(s) 上任意 曲率 κ(s) ≠ 0 的點，以 r(s) 為原點，以 切向量 α(s)，主法向量 β(s) ，次法向量 γ(s) 為 座標單位，構成一個笛卡爾直角座標系，稱為 Frenet 標架，記為 {r(s) , α(s)，β(s) ，γ(s)}，
並且，稱 座標平面 βrγ 為法平面， αrβ 為密切平面，αrγ 為從切平面，它們分別以α(s)， γ(s)， β(s) 為法線。
因為 |γ(s)| = 1，類似於 前面 關於α(s) 的證明，我們可以得到：
於是，令 |τ(s)| =|γ"(s)|， |τ(s)| 表示 γ(s) 的轉速率，稱為 τ(s) 曲線 r(s) 的 撓率。由於 γ(s) 是 密切平面 的法線，所以 |τ(s)| 表示 是密切平面 的 轉動速率。
這裡的撓，對應英語 torsion，表示扭曲的意思，如：百折不撓。
撓率 和 曲率 κ(s) ≥ 0 不同，我們需要用 τ(s) 的符號來表示曲線的扭曲方向：由 |γ(s)| = 1 ， 根據定理1和前面類似，可以得出，
γ"(s) ⊥γ(s)
再，根據定理2，
(a(t) × b(t))" = a"(t) × b(t) + a(t) × b"(t)
有，
γ"(s) = ( α(s) × β(s))" = α"(s) × β(s) + α(s) × β"(s) = (α"(s) × α"(s))/ κ(s) + α(s) × β"(s) = 0 / κ(s) + α(s) × β"(s) = α(s) × β"(s)
於是又得到，
γ"(s) ⊥ α(s)
綜上，說明 γ"(s) 和 β(s) 平行。為了避免和 β(s)方向重複，我們規定 β(s) 的反方向 為 撓率 正向，即：
γ"(s) = -τ(s)β(s)
上式兩邊左數乘 -1，然後右邊內積 β(s) ，再根據 β(s)⋅β(s)= |β(s)|² = 1²，最終得到：
τ(s) = -γ"(s)⋅β(s)
以上，概念的引入過程中，除了 曲率 κ(s) ≠ 0 的條件為，我們還需要使用了 r(s) 的三階導數，我們稱滿足上面兩個條件的 連續 曲線，為正則曲線，本文所研究的曲線僅限於此類。
將上面定義的 Frenet 標架，想象成一艘宇宙飛船，不妨稱為 F 號：
F號（質心）最初停在 r(s = t(a)) 處，F號的正前方控制桿是 α(s) 座標軸， F號的垂直下方控制桿是 β(s) 座標軸 ，F號的左手方控制桿是 γ(s) 座標軸；然後，隨著 s 引數的增加，飛船開始啟程，這時我們開始不斷 透過 曲率 和 撓率 來調整飛船的方向舵；最終，飛船行駛到 r(s = t(b)) 處 停止。這樣，F號（質心）的飛行航線，就構成了一個曲線。
構成方向舵的三個座標相互垂直，我們其實只用控制兩個座標，就可以了。上面已經得出，α"(s) = κ(s)β(s) 和 γ"(s) = -τ(s)β(s) 分別是 α(s) 和 γ(s) 座標軸 的運動方程：
從 α(s) 的運動方程，可看出 F號的正前方控制桿 可操作的 飛行動作為： 當 κ(s) > 0 時，向正下方 俯衝（即，以 γ(s) 為軸 順時針旋轉），因為 κ(s) ≥ 0，所以沒有 向正上方 拉起（即，以 γ(s) 為軸 逆時針旋轉）的飛行指令；
從 γ(s) 的運動方程，可看出 F號的左手方控制桿 可操作的 飛行動作為： 當 τ(s) > 0 時，向右滾動（即，以 α(s) 為軸 順時針旋轉），當 τ(s) < 0 時，向左滾動（即，以 α(s) 為軸 逆時針旋轉）；
雖然，透過曲率和撓率，只提供了 三個飛行動作，但是另外三個的飛行動作可以透過這三個動作實現：
向正上方 拉起：F號右（左）滾 180º ，這時 向正下方 俯衝 就是 向正上方 拉起；
水平 右轉向：設，右轉向 某個角度，使得 α(s) 和 γ(s) 分別到達 α₂(s) 和 γ₂(s) ，可以 向下俯衝 90º 使得 α(s) 垂直向下 處於位於原來 β(s) 座標軸 方向，然後 向右滾動，使得 γ(s) 到達 γ₂(s) 處，然後 向上拉昇 90º 使得 α(s) 到達 α₂(s) 處；
水平 左轉向：和上面類似。
至此，我們就可以自由的開著 F號 在三維空間中繪製任意曲線了。
實際上，我們還可以求出 最後 的 β(s) 座標軸 的運動方程，設 β"(s) 在 Frenet 標架中的座標是 (a, b, c)，則有：
aα(s) + bβ(s) + cγ(s) = β"(s)
等式兩邊 分別 右內積 α(s), β(s) , γ(s)，並根據 定理 2"：
(a(t)⋅b(t))" = a"(t)⋅b(t) + a(t)⋅b"(t)
的變形 a"(t)⋅b(t) = (a(t)⋅b(t))" - a(t)⋅b"(t) 有：
a = a|α(s)|² = aα(s)⋅α(s) = aα(s)⋅α(s) + bβ(s)⋅α(s) + cγ(s)⋅α(s) = β"(s)⋅α(s) = (β(s)⋅α(s))" - β(s)⋅α"(s) = -β(s)⋅(κ(s)β(s)) = -κ(s)β(s)⋅β(s) = -κ(s)|β(s)|² = -κ(s)
b = b|β(s)|² = bβ(s)⋅β(s) = aα(s)⋅β(s) + bβ(s)⋅β(s) + cγ(s)⋅β(s) = β"(s)⋅β(s) = 0
c = c|γ(s)|² = cγ(s)⋅γ(s) = aα(s)⋅γ(s) + bβ(s)⋅γ(s) + cγ(s)⋅γ(s) = β"(s)⋅γ(s) = (β(s)⋅γ(s))" - β(s)⋅γ"(s) = τ(s)
於是，得到：
β"(s) = -κ(s)α(s) + τ(s)γ(s)
這說明，β(s) 這個操作杆是可以左右旋轉，這剛好對應 F 號 水平 左右轉向 操作。
特殊地，如果永遠不操作F號的方向舵，則得到的一條直線，這時 曲率 κ(s) = 0，撓率沒有意義，如果只 俯衝和拉昇，則得到一條 平面 曲線，這時 撓率 τ(s) = 0，如果 只滾動，則依然得到一條直線，因為 曲率 κ(s) = 0，所以 撓率 沒有意義。
（小石頭數學水平有限，出錯在所難免，歡迎各位老師和同學批評指正！）
（補充 2020/1/1)
定理 2 證明：
設，a(t) = (x₁(t), y₁(t), z₁(t)) ， b(t) = (x₂(t), y₂(t), z₂(t))，根據 外積的定義，有：
證畢
定理 2" 的證明類似（略）
定理 1 證明：
結合 內積的交換律，從定理 2" 得到：
(a(t)⋅a(t))" = a"(t)⋅a(t) + a(t)⋅a"(t) = a"(t)⋅a(t) + a"(t)⋅a(t) = 2a"(t)⋅a(t)
而 根據內積定義，有：
(a(t)⋅a(t))" = (|a(t)|²)" = 2|a(t)|"
等式兩邊聯立，再結合 定理的條件，有：
a"(t)⋅a(t) = |a(t)|" = C" = 0
（小石頭來回答這個過期的問題，雖然註定沒有推薦到首頁的機會，但是撓率和曲率在一起，依然構成《曲線論》中的最重要概念，因此值得我們認真對待。）
首先，從頭開始引入曲率和撓率的定義三維空間的曲線，除了可以用兩個曲面方程組成的方程組（兩個曲面的交線就是曲線）來表示外，還可以表示為引數形式，即, t ∈ I = [a, b] ⊂ R ，
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
仿照，空間中一個點對應一個向量 a = (x, y, z)，將一個空間曲線（引數方程）寫成以 函式為 元素的 向量
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
稱之為 向量函式，它是 區間 I 到 R³ 的對映，即，r : I → R³。
向量函式 除了具有普通 向量 的性質和運算外，我們還在其上定義導數：
對於任意曲線 r(t)，
我們在 引數 區間 [a, b] 中插入：
a = t₁ < ... < t_{n+1} = b
它們將 曲線 r(t) 分成任意多小段，對於其中每一小段 Δtᵢ = tᵢ₊₁ - tᵢ ( > 0)，其對應的弧長約等於 弦長：
Δsᵢ =|r(tᵢ + Δtᵢ) - r( tᵢ)|
令，λ = max{Δtᵢ, i = 1, 2, ...., n}，則根據黎曼積分，曲線 r(t) 的弧長有：
可對 曲線 r(t) 的引數進行轉換，這裡設：
即，
s"(t) = |r"(t)|
於是有：
t = t(s) = s⁻¹(t)
重設，
r(s) = r(t(s))
稱 s 為曲線 r(s) 的 自然引數，令，α(s) = r"(s)，則滿足：
|α(s)| = 1
稱，α(s) 是 曲線 r(s) 的單位切向量。
考慮 α"(s)，
利用，|α(s)| = |α(s + Δs)| = 1，以及 《高等數學》 中透過 夾逼定理的得出的重要極限：
有：
於是，令 κ(s) =|α"(s)| ，則 κ(s) 表示 α(s) 的轉動速率，稱為 曲線 r(s) 的 曲率。
根據，定理1：
如果 |a(t)| = C（常數） 則 a(t)⋅a"(t) = 0
由 |α(s)| = 1 ，有：
α(s)⋅α"(s) = 0
再，根據內積的定義：
a ⋅ b = |a||b| cos ∠ab
有：
|α(s)||α"(s)| cos∠α(s)α"(s) = κ(s) cos∠α(s)α"(s) = 0
當 κ(s) ≠ 0 時，有：
cos∠α(s)α"(s) = 0
這說明，α"(s) ⊥ α(s)，於是，令：
α"(s) = κ(s)β(s) （即， β(s) = α"(s) / κ(s) ）
則有 |β(s)| = 1， 並且 β(s) ⊥ α(s) ，稱 β(s) 為 曲線 r(s) 的單位主法向量。
然後，再利用外積，令：
γ(s) = α(s) × β(s)
根據上面的結果，以及外積的定義：
c =|a × b| = |a||b| sin ∠ab
c ⊥ a, b 並且 滿足右手螺旋法則
知道，|γ(s)| = 1, γ(s) ⊥ α(s) , β(s) ，稱 γ(s) 為 曲線 r(s) 的單位次法向量。
到此，對於曲線 r(s) 上任意 曲率 κ(s) ≠ 0 的點，以 r(s) 為原點，以 切向量 α(s)，主法向量 β(s) ，次法向量 γ(s) 為 座標單位，構成一個笛卡爾直角座標系，稱為 Frenet 標架，記為 {r(s) , α(s)，β(s) ，γ(s)}，
並且，稱 座標平面 βrγ 為法平面， αrβ 為密切平面，αrγ 為從切平面，它們分別以α(s)， γ(s)， β(s) 為法線。
因為 |γ(s)| = 1，類似於 前面 關於α(s) 的證明，我們可以得到：
於是，令 |τ(s)| =|γ"(s)|， |τ(s)| 表示 γ(s) 的轉速率，稱為 τ(s) 曲線 r(s) 的 撓率。由於 γ(s) 是 密切平面 的法線，所以 |τ(s)| 表示 是密切平面 的 轉動速率。
這裡的撓，對應英語 torsion，表示扭曲的意思，如：百折不撓。
撓率 和 曲率 κ(s) ≥ 0 不同，我們需要用 τ(s) 的符號來表示曲線的扭曲方向：由 |γ(s)| = 1 ， 根據定理1和前面類似，可以得出，
γ"(s) ⊥γ(s)
再，根據定理2，
(a(t) × b(t))" = a"(t) × b(t) + a(t) × b"(t)
有，
γ"(s) = ( α(s) × β(s))" = α"(s) × β(s) + α(s) × β"(s) = (α"(s) × α"(s))/ κ(s) + α(s) × β"(s) = 0 / κ(s) + α(s) × β"(s) = α(s) × β"(s)
於是又得到，
γ"(s) ⊥ α(s)
綜上，說明 γ"(s) 和 β(s) 平行。為了避免和 β(s)方向重複，我們規定 β(s) 的反方向 為 撓率 正向，即：
γ"(s) = -τ(s)β(s)
上式兩邊左數乘 -1，然後右邊內積 β(s) ，再根據 β(s)⋅β(s)= |β(s)|² = 1²，最終得到：
τ(s) = -γ"(s)⋅β(s)
其次，說明曲率和撓率的幾何意義以上，概念的引入過程中，除了 曲率 κ(s) ≠ 0 的條件為，我們還需要使用了 r(s) 的三階導數，我們稱滿足上面兩個條件的 連續 曲線，為正則曲線，本文所研究的曲線僅限於此類。
將上面定義的 Frenet 標架，想象成一艘宇宙飛船，不妨稱為 F 號：
F號（質心）最初停在 r(s = t(a)) 處，F號的正前方控制桿是 α(s) 座標軸， F號的垂直下方控制桿是 β(s) 座標軸 ，F號的左手方控制桿是 γ(s) 座標軸；然後，隨著 s 引數的增加，飛船開始啟程，這時我們開始不斷 透過 曲率 和 撓率 來調整飛船的方向舵；最終，飛船行駛到 r(s = t(b)) 處 停止。這樣，F號（質心）的飛行航線，就構成了一個曲線。
構成方向舵的三個座標相互垂直，我們其實只用控制兩個座標，就可以了。上面已經得出，α"(s) = κ(s)β(s) 和 γ"(s) = -τ(s)β(s) 分別是 α(s) 和 γ(s) 座標軸 的運動方程：
從 α(s) 的運動方程，可看出 F號的正前方控制桿 可操作的 飛行動作為： 當 κ(s) > 0 時，向正下方 俯衝（即，以 γ(s) 為軸 順時針旋轉），因為 κ(s) ≥ 0，所以沒有 向正上方 拉起（即，以 γ(s) 為軸 逆時針旋轉）的飛行指令；
從 γ(s) 的運動方程，可看出 F號的左手方控制桿 可操作的 飛行動作為： 當 τ(s) > 0 時，向右滾動（即，以 α(s) 為軸 順時針旋轉），當 τ(s) < 0 時，向左滾動（即，以 α(s) 為軸 逆時針旋轉）；
雖然，透過曲率和撓率，只提供了 三個飛行動作，但是另外三個的飛行動作可以透過這三個動作實現：
向正上方 拉起：F號右（左）滾 180º ，這時 向正下方 俯衝 就是 向正上方 拉起；
水平 右轉向：設，右轉向 某個角度，使得 α(s) 和 γ(s) 分別到達 α₂(s) 和 γ₂(s) ，可以 向下俯衝 90º 使得 α(s) 垂直向下 處於位於原來 β(s) 座標軸 方向，然後 向右滾動，使得 γ(s) 到達 γ₂(s) 處，然後 向上拉昇 90º 使得 α(s) 到達 α₂(s) 處；
水平 左轉向：和上面類似。
至此，我們就可以自由的開著 F號 在三維空間中繪製任意曲線了。
實際上，我們還可以求出 最後 的 β(s) 座標軸 的運動方程，設 β"(s) 在 Frenet 標架中的座標是 (a, b, c)，則有：
aα(s) + bβ(s) + cγ(s) = β"(s)
等式兩邊 分別 右內積 α(s), β(s) , γ(s)，並根據 定理 2"：
(a(t)⋅b(t))" = a"(t)⋅b(t) + a(t)⋅b"(t)
的變形 a"(t)⋅b(t) = (a(t)⋅b(t))" - a(t)⋅b"(t) 有：
a = a|α(s)|² = aα(s)⋅α(s) = aα(s)⋅α(s) + bβ(s)⋅α(s) + cγ(s)⋅α(s) = β"(s)⋅α(s) = (β(s)⋅α(s))" - β(s)⋅α"(s) = -β(s)⋅(κ(s)β(s)) = -κ(s)β(s)⋅β(s) = -κ(s)|β(s)|² = -κ(s)
b = b|β(s)|² = bβ(s)⋅β(s) = aα(s)⋅β(s) + bβ(s)⋅β(s) + cγ(s)⋅β(s) = β"(s)⋅β(s) = 0
c = c|γ(s)|² = cγ(s)⋅γ(s) = aα(s)⋅γ(s) + bβ(s)⋅γ(s) + cγ(s)⋅γ(s) = β"(s)⋅γ(s) = (β(s)⋅γ(s))" - β(s)⋅γ"(s) = τ(s)
於是，得到：
β"(s) = -κ(s)α(s) + τ(s)γ(s)
這說明，β(s) 這個操作杆是可以左右旋轉，這剛好對應 F 號 水平 左右轉向 操作。
特殊地，如果永遠不操作F號的方向舵，則得到的一條直線，這時 曲率 κ(s) = 0，撓率沒有意義，如果只 俯衝和拉昇，則得到一條 平面 曲線，這時 撓率 τ(s) = 0，如果 只滾動，則依然得到一條直線，因為 曲率 κ(s) = 0，所以 撓率 沒有意義。
最後，經過數學家證明，曲線的 曲率 和 撓率 是曲線內在的，不因為 曲線的引數替換而改變，並且一個曲線的形狀完全由曲線的 曲率 和 撓率決定，曲率 和 撓率 相同的 曲線 只是位置不同而已。（小石頭數學水平有限，出錯在所難免，歡迎各位老師和同學批評指正！）
（補充 2020/1/1)
定理 2 證明：
設，a(t) = (x₁(t), y₁(t), z₁(t)) ， b(t) = (x₂(t), y₂(t), z₂(t))，根據 外積的定義，有：
證畢
定理 2" 的證明類似（略）
定理 1 證明：
結合 內積的交換律，從定理 2" 得到：
(a(t)⋅a(t))" = a"(t)⋅a(t) + a(t)⋅a"(t) = a"(t)⋅a(t) + a"(t)⋅a(t) = 2a"(t)⋅a(t)
而 根據內積定義，有：
(a(t)⋅a(t))" = (|a(t)|²)" = 2|a(t)|"
等式兩邊聯立，再結合 定理的條件，有：
a"(t)⋅a(t) = |a(t)|" = C" = 0
證畢