1 這題好像沒什麼意義，問一個量子態角動量指向哪本身沒意義的事

Ylm是角動量第三分量Lz=m的本徵態，指向z軸（m 為正）或z軸負方向(m為負)

但是它並不是Lx或Ly的本徵態 （除非l=m=0）

所以它不會是總角動量算符L的本徵態

d答案肯定是錯的，Ylm(cita,fai)是變數為cita,fai的函式，cita,fai又不是常數...

還有一種看法，l,m對應於角動量L^2=l(l+i)hbar^2,Lz=m hbar

所以它雖然不是lx和ly的本徵態，但是是Lx^2+Ly^2=l(l+1)-m^2的本徵態

所以還有一個可能答案是arc cos [m/(l^2+l)^0.5]

2

對向量(非算符)(aXb)Xc=(a.c)b-(b.c)a

對算符的話由於有非對易的問題，所以不能只這麼寫，要保持原有順序，後一項寫成-a(b.c),但第一項還是比較難寫開的，但由於在你的問題裡b=c=r,所以沒問題

證明

記d=aXb,e=dXc

e1=d2c3-d3c2

d2=a3b1-a1b3

d3=a1b2-a2b1

因此e1=a3b1c3-a1b3c3-a1b2c2+a2b2c2=(a2c2+a3c3)b1-a1(b2c2+b3c3)+a1b1c1-a1b1c1

=(a1c1+a2c2+a3c3)b1-(b1c1+b2c2+b3c3)a1=(a.c)b1-(b.c)a1

其他兩分量同理

建議你自己驗證下在你的問題裡這個證明有效。