記18°=t

則5t=90°

sin3t=cos2t

sin(t+2t)=cos2t

sintcos2t+costsin2t=cos2t

sint(1-2sin²t)+2sint(1-sin²t)=1-2sin²t

記sint=x,則

x(1-2x²)+2x(1-x²)=1-2x²

(x-1)(4x²+2x-1)=0

x≠1,所以4x²+2x-1=0,取正根得：

x=(√5-1)/4即為sin18°的值.

①複數方法如下:

解 令z=cos72°+isin72°,則z^5=1.即

(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0

因為z≠1,所以 z^4+z^3+z^2+z+1=0

z^2+z+1+1/z+1/z^2=0

令y=z+1/z,則 y^2+y-1=0.

解得:y=(-1±√5)/2

又y=z+1/z=2cos72°>0

所以 cos72°=(-1+√5)/4

故 sin18°=cos72°=(-1+√5)/4.

②幾何方法如下：

轉化成求cos72°

cos72°的求法如下

構造一個等腰三角形ABC,使其兩個底角∠A、∠B的度數為72°,那麼它的頂角∠C=36°

作∠A的平分線AD,交BC與D

很容易得出三角形CAD和三角形BAD都是等腰三角形

且三角形ABC相似於三角形ABD,

然後透過比例關係、餘弦定理就可以求出cos72°

最終得出sin18°

記18°=t

則5t=90°

sin3t=cos2t

sin(t+2t)=cos2t

sintcos2t+costsin2t=cos2t

sint(1-2sin²t)+2sint(1-sin²t)=1-2sin²t

記sint=x,則

x(1-2x²)+2x(1-x²)=1-2x²

(x-1)(4x²+2x-1)=0

x≠1,所以4x²+2x-1=0,取正根得：

x=(√5-1)/4即為sin18°的值.

①複數方法如下:

解 令z=cos72°+isin72°,則z^5=1.即

(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0

因為z≠1,所以 z^4+z^3+z^2+z+1=0

z^2+z+1+1/z+1/z^2=0

令y=z+1/z,則 y^2+y-1=0.

解得:y=(-1±√5)/2

又y=z+1/z=2cos72°>0

所以 cos72°=(-1+√5)/4

故 sin18°=cos72°=(-1+√5)/4.

②幾何方法如下：

轉化成求cos72°

cos72°的求法如下

構造一個等腰三角形ABC,使其兩個底角∠A、∠B的度數為72°,那麼它的頂角∠C=36°

作∠A的平分線AD,交BC與D

很容易得出三角形CAD和三角形BAD都是等腰三角形

且三角形ABC相似於三角形ABD,

然後透過比例關係、餘弦定理就可以求出cos72°

最終得出sin18°