利用函式奇偶性的定義進行判斷；

我想關鍵在於理解：複合函式y = f( g(x) )

其實是：y = h(x) = f( g(x) )

狹義的(至少初等函式)函式是集合間的對映，複合函式也是函式，也是對映，所以不要看到一個 y 就忘了它和 x 的關係(至少我曾經是這樣的QAQ)

來複述一遍函式的定義：

然後就可以水到渠成：

1) 若f(x)是偶函式，g(x)是偶函式，則有h(x)是偶函式，偶偶為偶：

令 h(x) = f(g(x))

則 h(-x) = f(g(-x)) = f(g(x))

故，h(x) = h(-x)，h(x)是偶函式

同理易證，h(x) = g(f(x)) 時，h(x)是偶函式

2) 若f(x)是偶函式，g(x)是奇函式，則有h(x)是偶函式，偶奇為偶：

令 h(x) = f(g(x))

則 h(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x))

故，h(x) = h(-x)，h(x)是偶函式

3) 若f(x)是奇函式，g(x)是偶函式，則有h(x)是偶函式，奇偶為偶：

令 h(x) = f(g(x))

則 h(-x) = f(g(-x)) = f(g(x))

故，h(x) = h(-x)，h(x)是偶函式

4) 若f(x)是奇函式，g(x)是奇函式，則有h(x)是奇函式，奇奇為奇：

令 h(x) = f(g(x))

則 h(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x)) = -f(g(x))

故，h(x) = -h(-x)，h(x)是奇函式

同理易證，h(x) = g(f(x)) 時，h(x)是奇函式

5) 若f(x)是非奇非偶函式或g(x)是非奇非偶函式

這裡怎麼都不會相等了，因為f(x)與f(-x)，g(x)與g(-x)不再有關係。

個人淺見，如有謬誤，還請指出。

奇偶性的判斷，昨天覆習微積分的時候得到了一個很有意思的啟發：

利用這一特性，

假若這一定義成立，假若這一定義成立，假若這一定義成立。

就可以比較快速的的推導一個複合函式的奇偶性：

我沒有嚴謹的考證以下內容是否已經得證，僅供參考，僅供參考，僅供參考。

這部分僅供參考，僅供參考，僅供參考。

不一定。

實際上可能存在超越函式，它的函式影象關於y=x對稱，

易證其反函式為其本身

此時

於是f(f(x))不為超越函式

對於任意一個函式f(t)，給定引數曲線如下：

c為常數，則函式影象將關於y=x對稱

證明：對於 ，交換所有t和-t，可以得到 ，而B點可以看成是A點交換了橫座標和縱座標得到的，因此A,B點關於y=x對稱，定理得證。

好的，我們令

然後我們試圖轉化為y=f(x)的形式。

現在我們來檢驗了。

對於一切 ，這種函式都不可以表示成有限的多項式，同時這類函式由於圖象關於y=x對稱，與其本身複合又可以得到y=x，而y=x為代數函式。因此，題主的假設不成立。

進一步，其關於原點對稱的圖象也為超越的，而同理 。

由於對於指數函式來說乘以一個常數等於平移一個距離，所以得：