證明如下：x^5-5x+1=0證明：f(x)=x^5-5x+1F（0）=1，F(1)=-3，介值定理，有一個根X，使得F（X.）=0設有X1在（0,1）X1不等於X。根據羅爾定理，至少存在一個E，E在X.和X1之間，使得F"(E)=0F‘（E）=5（E^4-1)〈0矛盾∴為唯一正實根擴充套件資料有界函式判定方法：設函式f(x)是某一個實數集A上有定義，如果存在正數M對於一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的則稱函式f(x)在A上有界，如果不存在這樣定義的正數M則稱函式f(x)在A上無界設f為定義在D上的函式，若存在數M（L），使得對每一個x∈D有：ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）。則稱ƒ在D上有上（下）界的函式，M（L）稱為ƒ在D上的一個上（下）界。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。又若M(L)為ƒ在D上的上（下）界，則任何大於（小於）M（L）的數也是ƒ在D上的上（下）界。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界。一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。所以，一個數列(a0,a1,a2,...)是有界的。

證：

設函式f(x)=x?+3x-2，函式是初等函式，在定義域上連續。

x取任意實數，函式f(x)恆有意義，函式的定義域為R。

f"(x)=5x?+3

偶次方項恆非負，x?≥0，f"(x)=5x?+3≥3>0

函式f(x)在R上單調遞增，至多有一個零點，方程x?+3x-2=0至多有一個實數根。

令x=0，得f(x)=0+0-2=-2

令x=1，得f(x)=1+3-2=2>0

函式在區間(0，1)上有實根，又函式f(x)在R上至多有一個實數根，因此區間(0，1)上的根為方程的唯一實根。此實數根∈(0，1)，此實數根>0，是正根。

綜上，得：方程x?+3x-2=0有唯一實數根，為正根。

解題思路：

①、設函式f(x)=x?+3x-2。

函式是初等函式，在定義域上連續，定義域為R，函式在R上連續。

②、分析函式的單調性。函式是單調遞增函式，至多有一個零點，方程至多有一個實數根。

④、找出函式唯一零點所在區間，即為方程唯一正根所在區間。