勒讓德恆等式 對於滿足arphi+ heta={1 over 2}pi!的arphi!與 heta!，勒讓德證明了以下恆等式： K(sin arphi) E(sin heta ) + K(sin heta ) E(sin arphi) - K(sin arphi) K(sin heta) = {1 over 2}pi! 高斯-勒讓德原理 arphi= heta={piover 4}!的值可以代入到勒讓德恆等式，且K，E的近似值可透過a_0=1!與b_0=sin{pi over 4}=rac{1}{sqrt{2}}!的算術-幾何平均數的序列項得到 高斯-勒讓德演算法是一種用於計算π的演算法。它的收斂速度是顯著的，只需25次迭代即可產生π的4500萬位正確數字。不過，記憶體密集是它的缺點，因此有時它不如梅欽類公式使用廣泛。 該方法基於德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯（Johann Karl Friedrich Gauß，1777–1855）和法國數學家阿德里安-馬裡·勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752–1833）的個人成果與乘法和平方根運算的現代演算法的結合。該演算法反覆替換兩個數值的算術平均數和幾何平均數，以接近它們的算術-幾何平均數。
勒讓德恆等式 對於滿足arphi+ heta={1 over 2}pi!的arphi!與 heta!，勒讓德證明了以下恆等式： K(sin arphi) E(sin heta ) + K(sin heta ) E(sin arphi) - K(sin arphi) K(sin heta) = {1 over 2}pi! 高斯-勒讓德原理 arphi= heta={piover 4}!的值可以代入到勒讓德恆等式，且K，E的近似值可透過a_0=1!與b_0=sin{pi over 4}=rac{1}{sqrt{2}}!的算術-幾何平均數的序列項得到 高斯-勒讓德演算法是一種用於計算π的演算法。它的收斂速度是顯著的，只需25次迭代即可產生π的4500萬位正確數字。不過，記憶體密集是它的缺點，因此有時它不如梅欽類公式使用廣泛。 該方法基於德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯（Johann Karl Friedrich Gauß，1777–1855）和法國數學家阿德里安-馬裡·勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752–1833）的個人成果與乘法和平方根運算的現代演算法的結合。該演算法反覆替換兩個數值的算術平均數和幾何平均數，以接近它們的算術-幾何平均數。