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  • 1 # 使用者1494015575448

    簡單提示一下,從兩個角度考慮:

    1) 這樣的解析式的確是直線

    2) 這樣的解析式在x->無窮的時候跟雙曲線相當接近

    寫完這兩個,給你一個反例:請思考,雙曲線x^2+2x-y^2+3y=6的漸近線是什麼如果對這類答案的理解有困難,可以順著這條道路去思考:x^2-y^2=1是否是雙曲線令u=x+y,v=x-y,uv=1是否是雙曲線xy=1是否是雙曲線(x+1)(y+1)=1是否是雙曲線xy+x+y=0是否是雙曲線

    它們的漸近線又分別是什麼

    歸根結底,你總結出來的知識,只適用在一個很小的範圍內(高考範圍/標準雙曲線)在更大的意義上,你總結的東西並不成立。如果你想知道,在那個更大的意義上,到底成立著什麼,你可以思考本文最開始提出的兩個問題順便,你可以逆著剛剛提出的那段邏輯,把一個不標準的雙曲線轉化成一個標準的雙曲線,然後計算漸近線

    現在開始回答本文一開始提出的那兩個問題:對

    (1)

    你應當能會想到二次方程的內容:兩個數字乘積為零,則這兩者必有一個為0所以的影象就是 跟的影象,因此這個影象是兩條直線

    (2)設,讓我們把 減去 ,會發現

    我們會發現,可以推出 我們會發現,如果將這個式子看成dx的一元二次方程,則當x增加時,dx有一解趨向0(想一想可以怎麼證明,大學之後可以直接零點存在定理,高中雖然沒有類似的定理,但高中生可以藉助一元二次方程的性質,用韋達定理給出另一版證明——這個你可以自己試試,並不困難。)

    既然我們已經證明了dx有一解趨向0,我們就相當於證明了可以跟任意接近,這也就完成了漸近線的證明(最後一個note:想想為什麼不是兩個解都接近)

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