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  • 1 # 使用者3646332391312

    學渣來答一波。

    平面上一次導數指的是斜率,二次導數指的是凹凸性。這個用物理的位移X速度V加速度A理解:位移X對時間T的一次導數是速度V,一次導數大於0即速度V大於0,位移X對時間T的影象是直線斜向上的。位移X對時間T的二次導數是加速度A,二次導數大於0即加速度A大於0,位移X對時間T的影象是曲線凹上去的。

    二元連續函式是空間上的曲面圖形,δZ/δX表示固定Y(二元函式的影象沿y=y0切割留下一條與xoz平行平面中的曲線),再在這條曲線上研究Z對X的斜率。也就是在一個與xoz平行的平面上研究曲面上某一曲線的斜率。對δZδX再求一次X的偏導就是求該曲線的凹凸性。這是對其中一個變數的二次求導的意義。意義就在於切割出的曲線是凹是凸。

    書上的解釋和圖。

    二元連續函式的混合偏導(δ^2Z/δXδY為例)分兩步。

    1丶δZ/δX就是曲線的斜率(上面已講過)。將δZ/δX標記為①

    2丶對①求Y的偏導。

    先想象有一個圓錐,將圓錐的底面放在空間中的xoz面中,過圓錐上一點(非頂點)做與Y軸垂直的切面,切面與圓錐的交線的斜率表示δZ/δX的。將交線設為①,對①上一點求Y的偏導,就是考慮①的影象在Y軸方向的變化率(固定X=x0)。因為設的是圓錐所以對Y的斜率是常數。其他的圖形可以想象一個右半邊碗,平放在地面上就是一個凹上去的曲面,δZ/δX(曲線標記為①)是其中一條凹上去的線在某一點的斜率,對①求Y的偏導就是該曲線上某一點在Y方向上的變化率。沿X=x0上也是一條凹上去的線。就是沿X=x0觀察①的變化率。

    對碗來說,①上所有點對Y的偏導的集合就是研究①的圖形在曲面上沿Y方向怎麼移動,因為是碗,所以對曲線①求Y方向上的偏導也是凹上去的。

    所以二元函式對同一個點的兩個混合偏導相等。δ^2Z/δXδY是先沿Y=y0做個切向量,再沿X=x0做個切向量。δ^2Z/δYδX是先沿X=x0做切向量,再沿Y=y0做切向量。兩者的合向量是一樣的。

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