我答題時最高讚的回答有誤，現在應該已經修改了。
高贊答主的假設不夠嚴謹，同時計算所取引數也不夠精確。在水下落過程中，哪怕忽略空氣阻力、忽略水的蒸發散熱，表面傳熱係數也應該取空氣的受迫對流換熱係數，而不是水的對流換熱係數（>1000 W/m^2-K）。並且他使用了Lumped Thermal Capacity模型，把一整塊水看做是溫度均勻的，根據計算Biot數，這個假設明顯不成立。
這個問題十分複雜，需要給出不少假設，而且計算很可能很不精確。我試著建模一下這個問題，但是目前看不容易得到結果，就沒繼續算下去了。如果有什麼不妥、錯誤之處，勞煩各位指點。
為了防止流動失穩等複雜現象，我這裡借用高贊答主的假設，不考慮水垂直下落的流動，只考慮等體積水、形狀一定的情形下的散熱。
首先，我們假設這個壺是一個直徑為0.1m的球殼，裝滿了水。假設這個球殼厚度可以忽略不計，並且球殼密封（內部壓強不變），且水被認為是不可壓流體，這樣可以避免隨著高度上升，氣壓變化，導致水的沸點變化造成沸騰散熱（which很難計算）。這裡易得到壺內水的體積是大約0.5L，比較符合“一壺水”的題設。
此外，我們假設水壺在下落過程中做的是一維平移運動（無旋轉，無橫向位移）。其初始高度為H0，初始溫度為100℃。
這樣一來，整個過程可以看做水壺靜止不動，冷空氣以逐漸加速的速度流過球體。
根據流過球體的外部受迫對流換熱準則關聯式（Correlation for external force convection flow over a sphere）:
雷諾數 與下落時間有關，因為下落過程中速度v會增大。並且不同高度下，空氣的溫度、壓強都不同，因此各熱物性引數也都有變化。
壺內部水的溫度場不均勻，用通常情形下空氣的受迫對流換熱係數（10-100W/m^2-K)簡單計算Biot數為
因此，壺內水的溫度不可認為是均勻。其內部的自然對流可以透過計算Ra數得到。
如果這個時候壺內水的溫度在每一時刻都可以被認為是均勻的，就可以直接把時間細分，每個小的時間段內認為空氣的溫度、壓力、速度都不變，計算出Nu數，之後算出對流換熱係數。同時可以得到輻射散熱的傳熱係數（這時候需要假設壺的球殼是黑體，方便計算）。對流和輻射的傳熱係數相加，乘以水和空氣的溫差、乘以球表面積、乘以這個時間片段，就是該時間段的散熱量。下一步透過水的比熱和質量可以算出水的溫降，得到下一個時間片段開始前水的溫度。用此溫度進行下一步計算，一步步推到最末時刻溫度。
但是這個時候壺內水的溫度不統一，壺中心的溫度會和邊界處遠遠不同，因此這個問題需要解出控制方程，或者用有限元求解。
當然，其他答主也說了，如果不限制水的形狀，沒有壺在外部約束，水流會變為細水柱甚至小水滴，比表面積很大，換熱效率很高，不需要太高就可以冷卻到安全溫度。
我答題時最高讚的回答有誤，現在應該已經修改了。
高贊答主的假設不夠嚴謹，同時計算所取引數也不夠精確。在水下落過程中，哪怕忽略空氣阻力、忽略水的蒸發散熱，表面傳熱係數也應該取空氣的受迫對流換熱係數，而不是水的對流換熱係數（>1000 W/m^2-K）。並且他使用了Lumped Thermal Capacity模型，把一整塊水看做是溫度均勻的，根據計算Biot數，這個假設明顯不成立。
這個問題十分複雜，需要給出不少假設，而且計算很可能很不精確。我試著建模一下這個問題，但是目前看不容易得到結果，就沒繼續算下去了。如果有什麼不妥、錯誤之處，勞煩各位指點。
為了防止流動失穩等複雜現象，我這裡借用高贊答主的假設，不考慮水垂直下落的流動，只考慮等體積水、形狀一定的情形下的散熱。
首先，我們假設這個壺是一個直徑為0.1m的球殼，裝滿了水。假設這個球殼厚度可以忽略不計，並且球殼密封（內部壓強不變），且水被認為是不可壓流體，這樣可以避免隨著高度上升，氣壓變化，導致水的沸點變化造成沸騰散熱（which很難計算）。這裡易得到壺內水的體積是大約0.5L，比較符合“一壺水”的題設。
此外，我們假設水壺在下落過程中做的是一維平移運動（無旋轉，無橫向位移）。其初始高度為H0，初始溫度為100℃。
這樣一來，整個過程可以看做水壺靜止不動，冷空氣以逐漸加速的速度流過球體。
根據流過球體的外部受迫對流換熱準則關聯式（Correlation for external force convection flow over a sphere）:
雷諾數 與下落時間有關，因為下落過程中速度v會增大。並且不同高度下，空氣的溫度、壓強都不同，因此各熱物性引數也都有變化。
壺內部水的溫度場不均勻，用通常情形下空氣的受迫對流換熱係數（10-100W/m^2-K)簡單計算Biot數為
因此，壺內水的溫度不可認為是均勻。其內部的自然對流可以透過計算Ra數得到。
如果這個時候壺內水的溫度在每一時刻都可以被認為是均勻的，就可以直接把時間細分，每個小的時間段內認為空氣的溫度、壓力、速度都不變，計算出Nu數，之後算出對流換熱係數。同時可以得到輻射散熱的傳熱係數（這時候需要假設壺的球殼是黑體，方便計算）。對流和輻射的傳熱係數相加，乘以水和空氣的溫差、乘以球表面積、乘以這個時間片段，就是該時間段的散熱量。下一步透過水的比熱和質量可以算出水的溫降，得到下一個時間片段開始前水的溫度。用此溫度進行下一步計算，一步步推到最末時刻溫度。
但是這個時候壺內水的溫度不統一，壺中心的溫度會和邊界處遠遠不同，因此這個問題需要解出控制方程，或者用有限元求解。
當然，其他答主也說了，如果不限制水的形狀，沒有壺在外部約束，水流會變為細水柱甚至小水滴，比表面積很大，換熱效率很高，不需要太高就可以冷卻到安全溫度。