我們可以透過分析正弦函式、餘弦函式的主要性質來得出我們所求的值域!
(1)定義域
正弦函式、餘弦函式的定義域都是實數集R,分別記作
y=sinx,x∈R,
y=cosx,x∈R,
其中R當然可以換成(-∞,+∞)．
(2)值域
因為正弦線、餘弦線的長度小於或等於單位圓的半徑的長度,
所以|sinx|≤1,|cosx|≤1,即
-1≤sinx≤1,
-1≤cosx≤1．
這說明正弦函式、餘弦函式的值域都是[-1,1．其中正弦函式當且僅當
時取得最大值1,當且僅當
時取得最小值-1；而餘弦函式當且僅當
x=2kπ,k∈Z
x=(2k+1)π,k∈Z
時取得最小值-1．
(3)週期性
由誘導公式sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)可知,正弦函式值、餘弦函式值是按照一定規律不斷重複地取得的．圖4-20正是按此性質畫出的．
一般地,對於函式f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,都有
f(x+T)=f(x),
那麼函式f(x)就叫做週期函式．非零常數T叫做這個函式的週期．
例如,2π,4π,…及-2π,-4π,…都是正弦函式和餘弦函式的週期．事實上,任何一個常數2kπ(k∈Z且k≠0)都是這兩個函式的週期．
對於一個週期函式f(x),如果在它所有的週期中存在一個最小的正數,那麼這個最小正數就叫做f(x)的最小正週期．
例如,2π是正弦函式的所有周期中的最小正數①,所以2π是正弦函式的最小正週期．
根據上述定義,我們有：
正弦函式、餘弦函式都是週期函式,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它們的週期,最小正週期是2π．
我們可以透過分析正弦函式、餘弦函式的主要性質來得出我們所求的值域!
(1)定義域
正弦函式、餘弦函式的定義域都是實數集R,分別記作
y=sinx,x∈R,
y=cosx,x∈R,
其中R當然可以換成(-∞,+∞)．
(2)值域
因為正弦線、餘弦線的長度小於或等於單位圓的半徑的長度,
所以|sinx|≤1,|cosx|≤1,即
-1≤sinx≤1,
-1≤cosx≤1．
這說明正弦函式、餘弦函式的值域都是[-1,1．其中正弦函式當且僅當
時取得最大值1,當且僅當
時取得最小值-1；而餘弦函式當且僅當
x=2kπ,k∈Z
時取得最大值1,當且僅當
x=(2k+1)π,k∈Z
時取得最小值-1．
(3)週期性
由誘導公式sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)可知,正弦函式值、餘弦函式值是按照一定規律不斷重複地取得的．圖4-20正是按此性質畫出的．
一般地,對於函式f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,都有
f(x+T)=f(x),
那麼函式f(x)就叫做週期函式．非零常數T叫做這個函式的週期．
例如,2π,4π,…及-2π,-4π,…都是正弦函式和餘弦函式的週期．事實上,任何一個常數2kπ(k∈Z且k≠0)都是這兩個函式的週期．
對於一個週期函式f(x),如果在它所有的週期中存在一個最小的正數,那麼這個最小正數就叫做f(x)的最小正週期．
例如,2π是正弦函式的所有周期中的最小正數①,所以2π是正弦函式的最小正週期．
根據上述定義,我們有：
正弦函式、餘弦函式都是週期函式,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它們的週期,最小正週期是2π．