1．函式y＝arcsinx的定義域是 [－1, 1] ，值域是. 2．函式y＝arccosx的定義域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] . 3．函式y＝arctgx的定義域是 R ，值域是. 4．函式y＝arcctgx的定義域是 R ，值域是 (0, π) . 5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝. 7．若cosx＝－, x∈(, π)，則x＝. 8．若sinx＝－, x∈(－, 0)，則x＝. 9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π)，則x＝. 二．基本要求： 1．正確理解反三角函式的定義，把握三角函式與反三角函式的之間的反函式關係； 2．掌握反三角函式的定義域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函式中，定義域和值域的作用更為明顯，在研究問題時，一定要先看清楚變數的取值範圍； 3．符號arcsinx可以理解為[－，]上的一個角或弧，也可以理解為區間[－，]上的一個實數；同樣符號arccosx可以理解為[0，π]上的一個角或弧，也可以理解為區間[0，π]上的一個實數； 4．y＝arcsinx等價於siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等價於cosy＝x, x∈[0, π], 這兩個等價關係是解反三角函式問題的主要依據； 5．注意恆等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的運用的條件； 6．掌握反三角函式的奇偶性、增減性的判斷，大多數情況下，可以與相應的三角函式的圖象及性質結合起來理解和應用； 7．注意恆等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的應用。 例一．下列各式中成立的是（C）。 （A）arcctg(－1)＝－ （B）arccos(－)＝－ （C）sin[arcsin(－)]＝－ （D）arctg(tgπ)＝π 解：(A)(B)中都是值域出現了問題，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正確。 例二．下列函式中，存在反函式的是（D）。 （A）y＝sinx, x∈[－π, 0] （B）y＝sinx, x∈[, ] （C）y＝sinx, x∈[,] （D）y＝sinx, x∈[,] 解：本題是判斷函式y＝sinx在哪個區間上是單調函式，由於y＝sinx在區間[,]上是單調遞減函式， 所以選D。 例三． arcsin(sin10)等於（C）。 （A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π 解：本題是判斷哪個角度的正弦值與sin10相等，且該角度在[－, ]上。 由於sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以選C。 例四．求出下列函式的反函式，並求其定義域和值域。 （1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x. 解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2 由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－), ∴ x＝－arcsin, ∴ f －1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ]. (2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,], ∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝siny, ∴f －1(x)＝sinx , x∈[,], y∈[－, ]. 例五．求下列函式的定義域和值域： (1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1), 解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ). (2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴ ≤x≤, 由於－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin. (3) y＝arcctg(2x－1), 由於2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<, ∴ x∈R, y∈(0, ). 例六．求下列函式的值域： (1) y＝arccos(sinx), x∈(－, ); (2) y＝arcsinx＋arctgx. 解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sinx∈(－, 1], ∴ y∈[0, ). (2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx與arctgx都是增函式, ∴ －≤arcsinx≤, －≤arctgx≤, ∴ y∈[－,]. 例七．判斷下列函式的奇偶性： (1) f (x)＝xarcsin(sinx); (2) f (x)＝－arcctgx. 解：(1) f (x)的定義域是R， f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x), ∴ f (x)是偶函式; (2) f (x)的定義域是R, f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x), ∴ f (x)是奇函式. 例八．作函式y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π]的圖象. 解：y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π], 得, 圖象略。 例九．比較arcsin, arctg, arccos(－)的大小。 解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>, ∴arccos(－)最大, 設arcsin＝α，sinα＝, 設arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝<sinα, ∴ β<α, ∴ arctg< arcsin< arccos(－). 例十．解不等式：(1) arcsinx<arccosx; (2) 3arcsinx－arccosx>. 解：(1) x∈[－1, 1], 當x＝時, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函式,arccosx是減函式， ∴ 當x∈[－1, )時, arcsinx<arccosx. (2) ∵ arccosx＝－arcsinx, ∴ 原式化簡得4arcsinx>, ∴ arcsinx>＝arcsin, ∵ arcsinx是增函式, ∴ <x≤1. 三．基本技能訓練題： 1．下列關係式總成立的是（B）。 （A）π－arccosx>0 （B）π－arcctgx>0 （C）arcsinx－≥0 （D）arctgx－>0 2．定義在(－∞, ∞)上的減函式是（D）。 （A）y＝arcsinx （B）y＝arccosx （C）y＝arctgx （D）y＝arcctgx 3．不等式arcsinx>－的解集是. 4．不等式arccosx>的解集是. 四．試題精選： (一) 選擇題： 1．cos(arccos)的值是（D）。 （A） （B） （C）cos （D）不存在 2．已知arcsinx>1，那麼x的範圍是（C）。 （A）sin1<x< （B）sinx<x≤ （C）sin1<x≤1 （D） 3．已知y＝arcsinx·arctg|x| (－1≤x≤1)， 那麼這個函式（A）。 （A）是奇函式 （B）是偶函式 （C）既是奇函式又是偶函式 （D）非奇非偶函式 4．若a＝arcsin(－), b＝arcctg(－), c＝arccos(－)，則a, b, c的大小關係是（B）。 （A）a<b<c （B）a<c<b （C）c<a<b （D）c<b<a 5．已知tgx＝－, x∈(, π)，則x＝（C）。 （A）＋arctg(－)（B）π－arctg(－)（C）π＋arctg(－)（D） 6．函式f (x)＝2arccos(x－2)的反函式是（D）。 （A）y＝(cosx－2) (0≤x≤π) （B）y＝ cos(x－2) (0≤x≤2π) （C）y＝ cos(＋2) (0≤x≤π) （D）y＝ cos＋2 (0≤x≤2π) 7．若arccosx≥1，則x的取值範圍是（D）。 （A）[－1, 1] （B）[－1, 0] （C）[0, 1] （D）[－1, arccos1] 8．函式y＝arccos(sinx) (－<x<)的值域是（B）。 （A）(, ) （B）[0, ] （C）(, ) （D）[,] 9．已知x∈[－1, 0]，則下列等式成立的是（B）。 （A）arcsin＝arccosx （B）arcsin＝π－arccosx （C）arccos＝arcsinx （D）arccos＝π－arcsinx 10．直線2x＋y＋3＝0的傾斜角等於（C）。 （A）arctg2 （B）arctg(－2) （C）π－arctg2 （D）π－arctg(－2) (二) 填空題： 11．若cosα＝－ (<α<π)，則α＝. (用反餘弦表示) 12．函式y＝(arcsinx)2＋2arcsinx－1的最小值是 －2 . 13．函式y＝2sin2x (x∈[－, ])的反函式是. 14．函式y＝arcsin的定義域是 x≤1或x≥3 ，值域是 15．用反正切表示直線ax－y＋a＝0 (a≠0)的傾斜角為α＝ (三) 解答題： 16．求下列函式的反函式： (1) y＝3cos2x, x∈[－, 0]; (2) y＝π＋arccosx2 (0<x≤1). 解：(1) x∈[－, 0], ∴ 2x∈[－π, 0], 函式y＝3cos2x在定義域內是單值函式. 且－3≤y≤3. ∴ π＋2x∈[0, π], y＝3cos2x＝－3cos(π＋2x), cos(π＋2x)＝－, ∴ π＋2x＝arccos, ∴x＝arccos－, ∴y＝3cos2x, x∈[－, 0]的反函式是y＝arccos－, －3≤x≤3. (2) ∵0<x≤1, π≤y<, ∴ arccosx2＝y－π, x2＝cos(y－π), x＝, ∴ 原函式的反函式是y＝, π≤x<. 17．求函式y＝(arccosx)2－3arccosx的最值及相應的x的值。 解：函式y＝(arccosx)2－3arccosx, x∈[－1, 1], arccosx∈[0, π] 設arccosx＝t, 0≤t≤π, ∴ y＝t2－3t＝(t－)2－, ∴ 當t＝時,即x＝cos時, 函式取得最小值－， 當t＝π時,即x＝－1時，函式取得最大值π2－3π. 18．若f (arccosx)＝x2＋4x, 求f (x)的最值及相應的x的值。 解：設arccosx＝t, t∈[0, π], x＝cost, 代入得f (t)＝cos2t＋4cost, ∴ f (x)＝cos2x＋4cosx, x∈[0, π], cosx∈[－1, 1], f (x)＝(cosx＋2)2－4, ∴ 當cosx＝－1時,即x＝π時，函式取得最小值－3. 當cosx＝1時,即x＝0時，函式取得最大值5. 19．(1)求函式y＝arccos(x2－2x)的單調遞減區間; (2)求函式arctg(x2－2x)的單調遞增區間。 解：(1) 函式y＝arccosu, u∈[－1, 1]是減函式， ∴ －1≤x2－2x≤1,1－≤x≤1＋, 又x2－2x＝(x－1)2＋1, ∴ 1≤x≤1＋時, u＝x2－2x為增函式，根據複合函式的概念知此時原函式為減函式。 (2) 函式y＝arctgu增函式, u∈R, 又x2－2x＝(x－1)2＋1, ∴ 當x≥1時，原函式是增函式。 20．在曲線y＝5sin(arccos)上求一個點，使它到直線x＋y－10＝0的距離最遠，並求出這個最遠距離 解：設arccos＝α, －3≤x≤3, cosα＝, y＝5sinα＝5, 三角函式的性質和圖象 [重點]：複合三角函式的性質和圖象 [難點]：複合三角函式的圖象變換 [例題講解] 例1．求函式的定義域：f(x)= 解： (1): 2kπ≤x≤(2k+1)π (k∈Z) (2): -4<x<4 定義域為 。 注意：sinx中的自變數x的單位是“弧度”，x∈R。 例2．求y=cos( -2x)的遞增區間。 分析（1）：該函式是y=cosu，u= -2x的複合函式， ∵ u= -2x為減函式，要求y=cos( -2x)的遞增區間，只須求y=cosu的遞減區間。 方法（1）：∵ y=cosu的遞減區間為2kπ≤u≤π+2kπ (k∈Z) ∴ 令2kπ≤ -2x≤π+2kπ，- -kπ≤x≤ -kπ (k∈Z) ∵ -k與k等效，∴ 遞增區間為[- +kπ, +kπ] (k∈Z)。 分析（2）：∵ cosu為偶函式，∴ y=cos(2x- ) 設y=cost，t=2x- ， ∵ t=2x- 為增函式，要求y=cos(2x- )的遞增區間，只須求y=cost的遞增區間。 方法（2）：∵ y=cost的遞增區間為π+2kπ≤t≤2π+2kπ (k∈Z) ∴ 令π+2kπ≤2x- ≤2π+2kπ， +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z) ∴ 遞增區間為 +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)。 注意：兩種方法求得的結果表面上看不相同，但是從圖上看兩種形式所表示的範圍完全相同。 例3．求函式y=sin2x+sinx·sin(x+ )的週期和值域。 分析：求函式的週期、值域、單調區間等，對於三角函式式常用的方法是轉化為一個角的一個三角函式式。 解：y= = = = ∴ T= =π，值域為[ ]。 例4．求函式y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。 分析：sinx+cosx與sinxcosx有相互轉化的關係，若將sinx+cosx看成為整體，設為新的元，函式式可轉化為新元的函式式，注意新元的取值範圍。 解：設sinx+cosx=t，t∈[- , ]。 則(sinx+cosx)2=t2，即1+2sinxcosx=t2，sinxcosx= ， y=t+ = (t2+2t)- = (t+1)2-1， 當t= 時，ymax= + 。 例5．判斷下列函式的奇偶性 （1）y=sin(x+ )- cos(x+ ) （2）y= 分析：定義域為R，關於原點對稱，經過等值變形儘量轉化為一個角的一個三角函式式，再判斷其奇偶性。 解：（1）y=2[ sin(x+ )- cos(x+ )] =2sin[(x+ )- ] =2sinx ∴ 函式為奇函式。 （2）∵ 從分母可以得出定義域x≠π+2kπ且 (k∈Z)，在直角座標系中定義域關於原點不對稱。 ∴ 函式為非奇非偶函式。 例6．寫出下列函式圖象的解析式 （1）將函式y=sinx的圖象上所有點向左平移 個單位，再把所得圖象上各點的橫座標擴大為原來的2倍，得到所求函式的圖象。 （2）將函式y=cosx的圖象上所有點橫座標縮為原來的一半，縱座標保持不變，然後把圖象向左平移 個單位，得到所求函式的圖象。 （1）分析：按圖象變換的順序，自變數x的改變數依次是：+ ； 倍。 圖象的解析式依次為：y=sinx→y=sin(x+ )→y=sin( )。 解：所求函式圖象的解析式為y=sin( ),也可以寫為：y=sin (x+ ). （2）分析：按圖象變換的順序，自變數x的改變數依次是：2倍；+ 。 圖象的解析式依次為：y=cosx→y=cos2x→y=cos2(x+ )。 解：所求函式圖象的解析式為y=cos2(x+ )，也可以寫為：y=cos(2x+ )。 例7．已知函式y=sin(3x+ ) （1）判斷函式的奇偶性； （2）判斷函式的對稱性。 分析：函式的奇偶性與函式的對稱性既有聯絡又有區別，用定義法，換元法。 解：（1）定義域為R，設f(x)=sin(3x+ ) f(-x)=sin[3(-x)+ ]=-sin(3x- ) ∵ sin[3(-x)+ ]≠sin(3x+ ) sin[3(-x)+ ]≠-sin(3x+ ) ∴ 函式y=sin(3x+ )不是奇函式也不是偶函式。 （2）函式y=sin(3x+ )的圖象是軸對稱圖形，對稱軸方程是3x+ =kπ+ 。 即x= (k∈Z) 函式y=sin(3x+ )的圖象也是中心對稱圖形，∵ y=sinu圖象的對稱中心的座標是(kπ,0)。 令3x+ =kπ，x= (k∈Z)。 ∴ y=sin(3x+ )圖象的對稱中心的座標是( ,0) (k∈Z)。 測試 選擇題 1．y= 的定義域是（以下k∈Z）（ ） (A)[2k ] (B)[2k ] (C)[2k ] (D)(-∞,+∞) 2．f(x)= cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函式，則θ=（ ）(以下k∈Z) (A)kπ (B)kπ+ (C)kπ- (D)kπ+ 3．在[ ]上與函式y=cos(x-π)的圖象相同的函式是（ ） (A)y= (B)y= (C)y=cos(x- ) (D)y=cos(-x-4π) 4．把函式y=sin(2x- )的圖象向右平移 個單位，所得影象對應的函式是（ ） (A)非奇非偶函式 (B)既是奇函式，又是偶函式 (C)奇函式 (D)偶函式 5．將函式y=sin( )的圖象作如下的變換便得到函式y=sin x的圖象（ ） (A)向右平移 (B)向左平移 (C)向右平移 (D)向左平移 6．函式f(x)=sin(ωx+θ)·cos(ωx+θ) (ω>0)以2為最小正週期，且能在x=2時取得最大值，則θ的一個值是（ ） (A)- π (B)- π (C) π (D) 7．ω是正實數，函式 在 上遞增，那麼（ ） (A) (B) (C) (D) 8．y=cos( +2x)sin( -2x)的單調遞增區間是（以下k∈Z）（ ） (A)[ ] (B)[ ] (C)[ ] (D)[ ] 9．函式y=3sin(x+ 的最大值為（ ） (A)4 (B) (C)7 (D)8 10．當x∈( )時，f(x)=|sin(3kx+ )|有一個完整的週期，則k能取的最小正整數值是（ ） (A)12 (B)13 (C)25 (D)26 答案與解析 答案：1、D 2、C 3、A 4、D 5、C 6、A 7、A 8、A 9、D 10、B 解析： 1．對於x∈R，-1≤sinx≤1，cos(sinx)>0恆成立，所以x∈R。 2．整理得到f(x)=2sin(+θ-3x)，則根據f(0)=0代入選項驗證即可。 注：奇函式的一個性質：如果奇函式f(x)的定義域中有0，則f(0)=0（反之不一定成立）。 3．首先整理，y=cos(x-π)=-cosx， y= =|cosx|=-cosx (∵x∈[]，cosx<0) y= (x= 時無意義，顯然不是答案) y=cos(x- π)=-sinx， y=cos(-x-4π)=cosx。 4．y=sin(2x- ) y=sin(2(x- )- )=-cos2x。 注：對於函式圖象平移，掌握左加右減（向左平移時x加一個數，向右平移時x減一個數）的法則，還需注意，只是改變(x)。 5．y=sin x=sin[ (x- )+ ]， y=sin( x+ )→y=sin[ (x- )+ ] 即x變成x- ，所以是向右平移 個單位。 6．整理得f(x)= sin(2ωx+2θ)，由T= =2，ω= ，且x=2時，f(x)取最大值，代入選項驗證即可。 7．令ωx=t，因為f(x)=2sint在[- ， ]上是增函式， 所以- ≤t≤ ，即- ≤ωx≤ ，- ≤x≤ ， 根據已知f(x)在[- ， ]上遞增，所以 ，解出0<ω≤ 。 8．化簡出y= - sin4x=- sin4x+ ，原題即求sin4x的遞減區間， 2kπ+ ≤4x≤2kπ+ π ≤x≤ π。 9．注意到 ，化簡原式y=8cos(x- )。 10．函式f(x)的週期T= ，根據題意T ，即 ，解出k≥4π。 注：函式f(x)=|sinωx|的週期是T= 。 含引數的三角函式問題 有關含引數的問題，因為能很好的考察分類討論的數學思想和比較深刻地考察數學能力，在前幾年的高考中一度成為熱門。但是因為難度較大，近兩年有所降溫。含引數問題較多的出現在不等式和函式的有關問題中，在三角函式中也時有涉及。但因為三角函式在高考中多以低檔題和中檔題出現，本部分內容較難。 所謂的含引數，就是與變數有關。因此處理這類問題要有變數的思想，就是要把引數看作是一個運動的、一個變化的量。這個引數變化為不同的值時，可能對解題過程產生不同的影響，這就需要分類討論。下面幾個例題都是參變數與三角函式的圖象與性質相結合的問題。 例1．若對於一切實數x，cos2x=acos2x+bcosx+c恆成立，那麼a2+b2+c2=_______。 分析：當變數x變化時，cosx的值也在變化，但這個變化不能影響整個式子的值。 解：原式整理成：(a-2)cos2x+bcosx+c+1=0，即不論x取何值，這個式子恆成立， 則必須a-2=0，b=0，c+1=0同時成立，解出a=2，b=0，c=-1，所以a2+b2+c2=5。 注：要使acosx不受x值變化的影響，只能a=0。 例2．已知α,β∈[- ， ]，sinα=1-a, sinβ=1-a2, 又α+β<0, 求a的取值範圍。 分析：要求變數a的取值範圍，則必須根據已知條件找到一個含有a的不等式，同時注意本題中正弦函式的有界性。 解：因為α+β<0，則α<-β，同時α,-β∈[- ， ], 根據y=sinx在[- ， ]上是增函式，得到sinα<sin(-β)=-sinβ， 所以有 ，解出1<a≤ 。 注：本題主要考察三角函式的值域和靈活應用單調性。 例3．函式y=sin2x+acos2x的影象關於直線x=- 對稱，那麼a的值是多少？ 分析：函式f(x)的圖象關於直線x=a對稱，則有f(a+x)=f(a-x) 解：令f(x)=sin2x+acos2x，根據題意對於任意的x，f(- +x)=f(- -x)恆成立， 即sin(- +2x)+a·cos(- +2x)=sin(- -2x)+a·cos(- -2x) sin(- +2x)+sin( +2x)=a[cos( +2x)-cos(- +2x)] (1+a)sin2x=0 要使上式恆成立（不受x取值影響），必須1+a=0，即a=-1。 注：1、是不是有和例1類似的地方？ 2、對於選擇題，完全可以取關於x=- 對稱的兩個點代入驗證，比如 。 例4．已知方程2sin2x-cos2x+2sinx+m=0有解，求實數m的取值範圍。 分析：把變數m單獨放在一邊，考察另一邊的取值範圍。 解：由原式得到m=-3sin2x-2sinx+1， 令y=-3sin2x-2sinx+1，則y有最大最小值，只要m在這個範圍內，原方程就有解， 再令t=sinx，則-1≤t≤1,求y=-3t2-2t+1的值域。根據二次函式的圖象-4≤y≤ ， 即-4≤m≤ 時，原方程有解。 注：把變數分離，單獨放在一邊也是處理變數的一個技巧。下面例5也用到了。 例5．已知0≤θ≤ ，求使cos2θ+2msinθ-2m-2<0成立的實數m的取值範圍。 解：原式即2m(sinθ-1)<1+sin2θ 當sinθ-1=0，即θ= 時，不論m取何值，原式成立，即m∈R. 當sinθ-1≠0，即θ≠ 時，原式即2m> (sinθ-1<0) 令y= ，則y是一個變數，要使2m>y成立，只要2m>y的最大值即可。 下面求y的最大值(0≤sinθ<1 0<1-sinθ≤1) y= =sinθ+ =sinθ+1+ =-[(1-sinθ)+ ]+2 ∵ (1-sinθ)+ 在1-sinθ=1即θ=0時，取最小值3， ∴ y最大值=-1，2m>-1，m>- ， 所以當θ= 時，m取任意實數，原式都成立， 當0≤θ< 時，m>- 原式都成立。 注意：1、本題是一個綜合題，屬於較難的題目，考察的知識較多，但要體會變數的思想。 2、求函式y=x+ (a>0)的最值，可根據影象觀察在(0,+∞)的圖象，如圖（是奇函式）。 總結：在例1，3，4，5中都體現了變數的思想，注意體會。例5比較深刻地考察了分類討論的思想。另外，含引數問題往往和取值範圍聯絡在一起，也就註定了要與不等式聯絡在一起。 高考精題 1．下列四個函式中，以π為最小正週期，且在區間 上為減函式的是（ ）。 A、y=cos2x B、y=2|sinx| C、 D、y=-cotx 解：y=cos2x, ，週期是π，在區間 上是增函式， y=2|sinx|，週期是π，在區間 上是減函式， ，至少可以判斷，在區間 上不是減函式， y=-cotx，在區間 上是增函式，∴應選B。 2．函式y=x+sin|x|, x∈[-π,π]的大致圖象是（ ）。 解：由函式的奇偶性（非奇非偶）及特殊點的座標先刪去A、B、D。∴ 應選C。 3．設函式f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函式，則t的一個可能值是___。 解：畫出f(x)=sin2x的草圖，不難看出將影象向左水平移 ，就可得到關於y軸對稱的影象， ∴ 應填 。 4. 函式y=-xcosx的部分影象是（ ）。 解：∵ f(x)=-xcosx，∴ f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x), 那麼f(x)是奇函式(x∈R)，可在B、D中選， 又∵ 設影象上一點 ，在x軸下方， ∴ 應選D。 5．已知函式f(x)=x2+2x·tanθ-1， ，其中 。 （1）當 時，求函式f(x)的最大值與最小值； （2）求θ的取值範圍，使y=f(x)在區間 上是單調函式。 解：（1）當 時， ， ∴ 時，f(x)的最小值為 ， x=-1時，f(x)的最大值為 。 （2）函式f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ影象的對稱軸為x=-tanθ， ∵ y=f(x)在區間[-1, ]上是單調函式， ∴ -tanθ≤-1或 ， 即tanθ≥1或tanθ≤ , 因此，θ的取值範圍是 。 評註：本題是二次函式與三角函式基本知識的綜合題，問題（1）解中，得到二次函式的解析式後，要注意區間端點處的函式值與該函式的最值的正確比較，加以取捨。 第（2）問中，依題設f(x)在區間 上是單調函式，要分類考慮，若是單調遞增，則-tanθ≤-1，若是單調遞減，則 ，這一步是解題的關鍵，也是難點。 6．已知函式 x∈R。 （I）當函式y取得最大值時，求自變數x的集合； （II）該函式的影象可由y=sinx(x∈R)的影象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？ 解：（I） y取得最大值必須且只需 即 k∈Z。 所以當函式y取得最大值時，自變數x的集合為 . （II）將函式y=sinx依次進行如下變換： (i)把函式y=sinx的影象向左平移 ，得到函式 的影象； (ii)把得到的影象上各點橫座標縮短到原來的 倍（縱座標不變），得到函式 的影象； (iii)把得到的影象上各點縱座標縮短到原來的 倍（橫座標不變），得到函式 的影象； (IV)把得到的影象向上平移 個單位長度，得到函式 的影象； 綜上得到函式 的影象。 評註：應用三角公式，將已知函式式化成一個角[即 ]的簡單函式解析式，便可討論其最值，本題的解答以相應的影象變換給以詳細說明，要理解掌握。

．函式y＝arcsinx的定義域是 [－1, 1] ，值域是.

2．函式y＝arccosx的定義域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] .

3．函式y＝arctgx的定義域是 R ，值域是.

4．函式y＝arcctgx的定義域是 R ，值域是 (0, π) .

5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝.

6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.

7．若cosx＝－, x∈(, π)，則x＝.

8．若sinx＝－, x∈(－, 0)，則x＝.

9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π)，則x＝.

二．基本要求：

1．正確理解反三角函式的定義，把握三角函式與反三角函式的之間的反函式關係；

2．掌握反三角函式的定義域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函式中，定義域和值域的作用更為明顯，在研究問題時，一定要先看清楚變數的取值範圍；

3．符號arcsinx可以理解為[－，]上的一個角或弧，也可以理解為區間[－，]上的一個實數；同樣符號arccosx可以理解為[0，π]上的一個角或弧，也可以理解為區間[0，π]上的一個實數；

4．y＝arcsinx等價於siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等價於cosy＝x, x∈[0, π], 這兩個等價關係是解反三角函式問題的主要依據；

5．注意恆等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的運用的條件；

6．掌握反三角函式的奇偶性、增減性的判斷，大多數情況下，可以與相應的三角函式的圖象及性質結合起來理解和應用；

7．注意恆等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的應用。

例一．下列各式中成立的是（C）。

（A）arcctg(－1)＝－ （B）arccos(－)＝－

（C）sin[arcsin(－)]＝－ （D）arctg(tgπ)＝π

解：(A)(B)中都是值域出現了問題，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],

(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正確。

例二．下列函式中，存在反函式的是（D）。

（A）y＝sinx, x∈[－π, 0] （B）y＝sinx, x∈[, ]

（C）y＝sinx, x∈[,] （D）y＝sinx, x∈[,]

解：本題是判斷函式y＝sinx在哪個區間上是單調函式，由於y＝sinx在區間[,]上是單調遞減函式， 所以選D。

例三． arcsin(sin10)等於（C）。

（A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π

解：本題是判斷哪個角度的正弦值與sin10相等，且該角度在[－, ]上。

由於sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以選C。

例四．求出下列函式的反函式，並求其定義域和值域。

（1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x.

解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2

由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),

∴ x＝－arcsin, ∴ f －1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ].

(2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,],

∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝siny,

∴f －1(x)＝sinx , x∈[,], y∈[－, ].

例五．求下列函式的定義域和值域：

(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),

解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).

(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴ ≤x≤,

由於－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin.

(3) y＝arcctg(2x－1), 由於2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<, ∴ x∈R, y∈(0, ).

例六．求下列函式的值域：

(1) y＝arccos(sinx), x∈(－, ); (2) y＝arcsinx＋arctgx.

解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sinx∈(－, 1], ∴ y∈[0, ).

(2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx與arctgx都是增函式,

∴ －≤arcsinx≤, －≤arctgx≤, ∴ y∈[－,].

例七．判斷下列函式的奇偶性：

(1) f (x)＝xarcsin(sinx); (2) f (x)＝－arcctgx.

解：(1) f (x)的定義域是R， f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x),

∴ f (x)是偶函式;

(2) f (x)的定義域是R,

f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x),

∴ f (x)是奇函式.

例八．作函式y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π]的圖象.

解：y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π], 得, 圖象略。

例九．比較arcsin, arctg, arccos(－)的大小。

解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>, ∴arccos(－)最大,

設arcsin＝α，sinα＝, 設arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝<sinα, ∴ β<α,

∴ arctg< arcsin< arccos(－).

例十．解不等式：(1) arcsinx<arccosx; (2) 3arcsinx－arccosx>.

解：(1) x∈[－1, 1], 當x＝時, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函式,arccosx是減函式，

∴ 當x∈[－1, )時, arcsinx<arccosx.

(2) ∵ arccosx＝－arcsinx, ∴ 原式化簡得4arcsinx>, ∴ arcsinx>＝arcsin,

∵ arcsinx是增函式, ∴ <x≤1.

三．基本技能訓練題：

1．下列關係式總成立的是（B）。

（A）π－arccosx>0 （B）π－arcctgx>0 （C）arcsinx－≥0 （D）arctgx－>0

2．定義在(－∞, ∞)上的減函式是（D）。

（A）y＝arcsinx （B）y＝arccosx （C）y＝arctgx （D）y＝arcctgx

3．不等式arcsinx>－的解集是. 4．不等式arccosx>的解集是.

四．試題精選：

(一) 選擇題：

1．cos(arccos)的值是（D）。

（A） （B） （C）cos （D）不存在

2．已知arcsinx>1，那麼x的範圍是（C）。

（A）sin1<x< （B）sinx<x≤ （C）sin1<x≤1 （D）

3．已知y＝arcsinx·arctg|x| (－1≤x≤1)， 那麼這個函式（A）。

（A）是奇函式 （B）是偶函式 （C）既是奇函式又是偶函式 （D）非奇非偶函式

4．若a＝arcsin(－), b＝arcctg(－), c＝arccos(－)，則a, b, c的大小關係是（B）。

（A）a<b<c （B）a<c<b （C）c<a<b （D）c<b<a

5．已知tgx＝－, x∈(, π)，則x＝（C）。

（A）＋arctg(－)（B）π－arctg(－)（C）π＋arctg(－)（D）

6．函式f (x)＝2arccos(x－2)的反函式是（D）。

（A）y＝(cosx－2) (0≤x≤π) （B）y＝ cos(x－2) (0≤x≤2π)

（C）y＝ cos(＋2) (0≤x≤π) （D）y＝ cos＋2 (0≤x≤2π)

7．若arccosx≥1，則x的取值範圍是（D）。

（A）[－1, 1] （B）[－1, 0] （C）[0, 1] （D）[－1, arccos1]

8．函式y＝arccos(sinx) (－<x<)的值域是（B）。

（A）(, ) （B）[0, ] （C）(, ) （D）[,]

9．已知x∈[－1, 0]，則下列等式成立的是（B）。

（A）arcsin＝arccosx （B）arcsin＝π－arccosx

（C）arccos＝arcsinx （D）arccos＝π－arcsinx

10．直線2x＋y＋3＝0的傾斜角等於（C）。

（A）arctg2 （B）arctg(－2) （C）π－arctg2 （D）π－arctg(－2)

(二) 填空題：

11．若cosα＝－ (<α<π)，則α＝. (用反餘弦表示)

12．函式y＝(arcsinx)2＋2arcsinx－1的最小值是 －2 .

13．函式y＝2sin2x (x∈[－, ])的反函式是.

14．函式y＝arcsin的定義域是 x≤1或x≥3 ，值域是

15．用反正切表示直線ax－y＋a＝0 (a≠0)的傾斜角為α＝

(三) 解答題：

16．求下列函式的反函式：

(1) y＝3cos2x, x∈[－, 0]; (2) y＝π＋arccosx2 (0<x≤1).

解：(1) x∈[－, 0], ∴ 2x∈[－π, 0], 函式y＝3cos2x在定義域內是單值函式.

且－3≤y≤3. ∴ π＋2x∈[0, π], y＝3cos2x＝－3cos(π＋2x), cos(π＋2x)＝－,

∴ π＋2x＝arccos, ∴x＝arccos－,

∴y＝3cos2x, x∈[－, 0]的反函式是y＝arccos－, －3≤x≤3.

(2) ∵0<x≤1, π≤y<, ∴ arccosx2＝y－π, x2＝cos(y－π), x＝,

∴ 原函式的反函式是y＝, π≤x<.

17．求函式y＝(arccosx)2－3arccosx的最值及相應的x的值。

解：函式y＝(arccosx)2－3arccosx, x∈[－1, 1], arccosx∈[0, π]

設arccosx＝t, 0≤t≤π, ∴ y＝t2－3t＝(t－)2－,

∴ 當t＝時,即x＝cos時, 函式取得最小值－，

當t＝π時,即x＝－1時，函式取得最大值π2－3π.

18．若f (arccosx)＝x2＋4x, 求f (x)的最值及相應的x的值。

解：設arccosx＝t, t∈[0, π], x＝cost, 代入得f (t)＝cos2t＋4cost,

∴ f (x)＝cos2x＋4cosx, x∈[0, π], cosx∈[－1, 1], f (x)＝(cosx＋2)2－4,

∴ 當cosx＝－1時,即x＝π時，函式取得最小值－3.

當cosx＝1時,即x＝0時，函式取得最大值5.

19．(1)求函式y＝arccos(x2－2x)的單調遞減區間; (2)求函式arctg(x2－2x)的單調遞增區間。

解：(1) 函式y＝arccosu, u∈[－1, 1]是減函式，

∴ －1≤x2－2x≤1,1－≤x≤1＋, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,

∴ 1≤x≤1＋時, u＝x2－2x為增函式，根據複合函式的概念知此時原函式為減函式。

(2) 函式y＝arctgu增函式, u∈R, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,

∴ 當x≥1時，原函式是增函式。

20．在曲線y＝5sin(arccos)上求一個點，使它到直線x＋y－10＝0的距離最遠，並求出這個最遠距離

解：設arccos＝α, －3≤x≤3, cosα＝,

y＝5sinα＝5,

三角函式的性質和圖象

[重點]：複合三角函式的性質和圖象

[難點]：複合三角函式的圖象變換

[例題講解]

例1．求函式的定義域：f(x)=

解：

(1): 2kπ≤x≤(2k+1)π (k∈Z)

(2): -4<x<4

定義域為 。

注意：sinx中的自變數x的單位是“弧度”，x∈R。

例2．求y=cos( -2x)的遞增區間。

分析（1）：該函式是y=cosu，u= -2x的複合函式，

∵ u= -2x為減函式，要求y=cos( -2x)的遞增區間，只須求y=cosu的遞減區間。

方法（1）：∵ y=cosu的遞減區間為2kπ≤u≤π+2kπ (k∈Z)

∴ 令2kπ≤ -2x≤π+2kπ，- -kπ≤x≤ -kπ (k∈Z)

∵ -k與k等效，∴ 遞增區間為[- +kπ, +kπ] (k∈Z)。

分析（2）：∵ cosu為偶函式，∴ y=cos(2x- )

設y=cost，t=2x- ，

∵ t=2x- 為增函式，要求y=cos(2x- )的遞增區間，只須求y=cost的遞增區間。

方法（2）：∵ y=cost的遞增區間為π+2kπ≤t≤2π+2kπ (k∈Z)

∴ 令π+2kπ≤2x- ≤2π+2kπ， +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)

∴ 遞增區間為 +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)。

注意：兩種方法求得的結果表面上看不相同，但是從圖上看兩種形式所表示的範圍完全相同。

例3．求函式y=sin2x+sinx·sin(x+ )的週期和值域。

分析：求函式的週期、值域、單調區間等，對於三角函式式常用的方法是轉化為一個角的一個三角函式式。

解：y=

=

=

=

∴ T= =π，值域為[ ]。

例4．求函式y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。

分析：sinx+cosx與sinxcosx有相互轉化的關係，若將sinx+cosx看成為整體，設為新的元，函式式可轉化為新元的函式式，注意新元的取值範圍。

解：設sinx+cosx=t，t∈[- , ]。

則(sinx+cosx)2=t2，即1+2sinxcosx=t2，sinxcosx= ，

y=t+ = (t2+2t)- = (t+1)2-1，

當t= 時，ymax= + 。

例5．判斷下列函式的奇偶性

（1）y=sin(x+ )- cos(x+ )

（2）y=

分析：定義域為R，關於原點對稱，經過等值變形儘量轉化為一個角的一個三角函式式，再判斷其奇偶性。

解：（1）y=2[ sin(x+ )- cos(x+ )]

=2sin[(x+ )- ]

=2sinx

∴ 函式為奇函式。

（2）∵ 從分母可以得出定義域x≠π+2kπ且 (k∈Z)，在直角座標系中定義域關於原點不對稱。

∴ 函式為非奇非偶函式。

例6．寫出下列函式圖象的解析式

（1）將函式y=sinx的圖象上所有點向左平移 個單位，再把所得圖象上各點的橫座標擴大為原來的2倍，得到所求函式的圖象。

（2）將函式y=cosx的圖象上所有點橫座標縮為原來的一半，縱座標保持不變，然後把圖象向左平移 個單位，得到所求函式的圖象。

（1）分析：按圖象變換的順序，自變數x的改變數依次是：+ ； 倍。

圖象的解析式依次為：y=sinx→y=sin(x+ )→y=sin( )。

解：所求函式圖象的解析式為y=sin( ),也可以寫為：y=sin (x+ ).

（2）分析：按圖象變換的順序，自變數x的改變數依次是：2倍；+ 。

圖象的解析式依次為：y=cosx→y=cos2x→y=cos2(x+ )。

解：所求函式圖象的解析式為y=cos2(x+ )，也可以寫為：y=cos(2x+ )。

例7．已知函式y=sin(3x+ )

（1）判斷函式的奇偶性；

（2）判斷函式的對稱性。

分析：函式的奇偶性與函式的對稱性既有聯絡又有區別，用定義法，換元法。

解：（1）定義域為R，設f(x)=sin(3x+ )

f(-x)=sin[3(-x)+ ]=-sin(3x- )

∵ sin[3(-x)+ ]≠sin(3x+ )

sin[3(-x)+ ]≠-sin(3x+ )

∴ 函式y=sin(3x+ )不是奇函式也不是偶函式。

（2）函式y=sin(3x+ )的圖象是軸對稱圖形，對稱軸方程是3x+ =kπ+ 。

即x= (k∈Z)

函式y=sin(3x+ )的圖象也是中心對稱圖形，∵ y=sinu圖象的對稱中心的座標是(kπ,0)。

令3x+ =kπ，x= (k∈Z)。

∴ y=sin(3x+ )圖象的對稱中心的座標是( ,0) (k∈Z)。

測試

選擇題

1．y= 的定義域是（以下k∈Z）（ ）

(A)[2k ] (B)[2k ]

(C)[2k ] (D)(-∞,+∞)

2．f(x)= cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函式，則θ=（ ）(以下k∈Z)

(A)kπ (B)kπ+ (C)kπ- (D)kπ+

3．在[ ]上與函式y=cos(x-π)的圖象相同的函式是（ ）

(A)y= (B)y= (C)y=cos(x- ) (D)y=cos(-x-4π)

4．把函式y=sin(2x- )的圖象向右平移 個單位，所得影象對應的函式是（ ）

(A)非奇非偶函式 (B)既是奇函式，又是偶函式

(C)奇函式 (D)偶函式

5．將函式y=sin( )的圖象作如下的變換便得到函式y=sin x的圖象（ ）

(A)向右平移 (B)向左平移 (C)向右平移 (D)向左平移

6．函式f(x)=sin(ωx+θ)·cos(ωx+θ) (ω>0)以2為最小正週期，且能在x=2時取得最大值，則θ的一個值是（ ）

(A)- π (B)- π (C) π (D)

7．ω是正實數，函式 在 上遞增，那麼（ ）

(A) (B) (C) (D)

8．y=cos( +2x)sin( -2x)的單調遞增區間是（以下k∈Z）（ ）

(A)[ ] (B)[ ]

(C)[ ] (D)[ ]

9．函式y=3sin(x+ 的最大值為（ ）

(A)4 (B) (C)7 (D)8

10．當x∈( )時，f(x)=|sin(3kx+ )|有一個完整的週期，則k能取的最小正整數值是（ ）

(A)12 (B)13 (C)25 (D)26

答案與解析

答案：1、D 2、C 3、A 4、D 5、C 6、A 7、A 8、A 9、D 10、B

解析：

1．對於x∈R，-1≤sinx≤1，cos(sinx)>0恆成立，所以x∈R。

2．整理得到f(x)=2sin(+θ-3x)，則根據f(0)=0代入選項驗證即可。

注：奇函式的一個性質：如果奇函式f(x)的定義域中有0，則f(0)=0（反之不一定成立）。

3．首先整理，y=cos(x-π)=-cosx，

y= =|cosx|=-cosx (∵x∈[]，cosx<0)

y= (x= 時無意義，顯然不是答案)

y=cos(x- π)=-sinx，

y=cos(-x-4π)=cosx。

4．y=sin(2x- ) y=sin(2(x- )- )=-cos2x。

注：對於函式圖象平移，掌握左加右減（向左平移時x加一個數，向右平移時x減一個數）的法則，還需注意，只是改變(x)。

5．y=sin x=sin[ (x- )+ ]， y=sin( x+ )→y=sin[ (x- )+ ]

即x變成x- ，所以是向右平移 個單位。

6．整理得f(x)= sin(2ωx+2θ)，由T= =2，ω= ，且x=2時，f(x)取最大值，代入選項驗證即可。

7．令ωx=t，因為f(x)=2sint在[- ， ]上是增函式，

所以- ≤t≤ ，即- ≤ωx≤ ，- ≤x≤ ，

根據已知f(x)在[- ， ]上遞增，所以 ，解出0<ω≤ 。

8．化簡出y= - sin4x=- sin4x+ ，原題即求sin4x的遞減區間，

2kπ+ ≤4x≤2kπ+ π ≤x≤ π。

9．注意到 ，化簡原式y=8cos(x- )。

10．函式f(x)的週期T= ，根據題意T ，即 ，解出k≥4π。

注：函式f(x)=|sinωx|的週期是T= 。

含引數的三角函式問題

有關含引數的問題，因為能很好的考察分類討論的數學思想和比較深刻地考察數學能力，在前幾年的高考中一度成為熱門。但是因為難度較大，近兩年有所降溫。含引數問題較多的出現在不等式和函式的有關問題中，在三角函式中也時有涉及。但因為三角函式在高考中多以低檔題和中檔題出現，本部分內容較難。

所謂的含引數，就是與變數有關。因此處理這類問題要有變數的思想，就是要把引數看作是一個運動的、一個變化的量。這個引數變化為不同的值時，可能對解題過程產生不同的影響，這就需要分類討論。下面幾個例題都是參變數與三角函式的圖象與性質相結合的問題。

例1．若對於一切實數x，cos2x=acos2x+bcosx+c恆成立，那麼a2+b2+c2=_______。

分析：當變數x變化時，cosx的值也在變化，但這個變化不能影響整個式子的值。

解：原式整理成：(a-2)cos2x+bcosx+c+1=0，即不論x取何值，這個式子恆成立，

則必須a-2=0，b=0，c+1=0同時成立，解出a=2，b=0，c=-1，所以a2+b2+c2=5。

注：要使acosx不受x值變化的影響，只能a=0。

例2．已知α,β∈[- ， ]，sinα=1-a, sinβ=1-a2, 又α+β<0, 求a的取值範圍。

分析：要求變數a的取值範圍，則必須根據已知條件找到一個含有a的不等式，同時注意本題中正弦函式的有界性。

解：因為α+β<0，則α<-β，同時α,-β∈[- ， ],

根據y=sinx在[- ， ]上是增函式，得到sinα<sin(-β)=-sinβ，

所以有 ，解出1<a≤ 。

注：本題主要考察三角函式的值域和靈活應用單調性。

例3．函式y=sin2x+acos2x的影象關於直線x=- 對稱，那麼a的值是多少？

分析：函式f(x)的圖象關於直線x=a對稱，則有f(a+x)=f(a-x)

解：令f(x)=sin2x+acos2x，根據題意對於任意的x，f(- +x)=f(- -x)恆成立，

即sin(- +2x)+a·cos(- +2x)=sin(- -2x)+a·cos(- -2x)

sin(- +2x)+sin( +2x)=a[cos( +2x)-cos(- +2x)]

(1+a)sin2x=0

要使上式恆成立（不受x取值影響），必須1+a=0，即a=-1。

注：1、是不是有和例1類似的地方？

2、對於選擇題，完全可以取關於x=- 對稱的兩個點代入驗證，比如 。

例4．已知方程2sin2x-cos2x+2sinx+m=0有解，求實數m的取值範圍。

分析：把變數m單獨放在一邊，考察另一邊的取值範圍。

解：由原式得到m=-3sin2x-2sinx+1，

令y=-3sin2x-2sinx+1，則y有最大最小值，只要m在這個範圍內，原方程就有解，

再令t=sinx，則-1≤t≤1,求y=-3t2-2t+1的值域。根據二次函式的圖象-4≤y≤ ，

即-4≤m≤ 時，原方程有解。

注：把變數分離，單獨放在一邊也是處理變數的一個技巧。下面例5也用到了。

例5．已知0≤θ≤ ，求使cos2θ+2msinθ-2m-2<0成立的實數m的取值範圍。

解：原式即2m(sinθ-1)<1+sin2θ

當sinθ-1=0，即θ= 時，不論m取何值，原式成立，即m∈R.

當sinθ-1≠0，即θ≠ 時，原式即2m> (sinθ-1<0)

令y= ，則y是一個變數，要使2m>y成立，只要2m>y的最大值即可。

下面求y的最大值(0≤sinθ<1 0<1-sinθ≤1)

y=

=sinθ+

=sinθ+1+

=-[(1-sinθ)+ ]+2

∵ (1-sinθ)+ 在1-sinθ=1即θ=0時，取最小值3，

∴ y最大值=-1，2m>-1，m>- ，

所以當θ= 時，m取任意實數，原式都成立，

當0≤θ< 時，m>- 原式都成立。

注意：1、本題是一個綜合題，屬於較難的題目，考察的知識較多，但要體會變數的思想。

2、求函式y=x+ (a>0)的最值，可根據影象觀察在(0,+∞)的圖象，如圖（是奇函式）。

高考精題

1．下列四個函式中，以π為最小正週期，且在區間 上為減函式的是（ ）。

A、y=cos2x B、y=2|sinx| C、 D、y=-cotx

解：y=cos2x, ，週期是π，在區間 上是增函式，

y=2|sinx|，週期是π，在區間 上是減函式，

，至少可以判斷，在區間 上不是減函式，

y=-cotx，在區間 上是增函式，∴應選B。

2．函式y=x+sin|x|, x∈[-π,π]的大致圖象是（ ）。

解：由函式的奇偶性（非奇非偶）及特殊點的座標先刪去A、B、D。∴ 應選C。

3．設函式f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函式，則t的一個可能值是___。

解：畫出f(x)=sin2x的草圖，不難看出將影象向左水平移 ，就可得到關於y軸對稱的影象，

∴ 應填 。

4. 函式y=-xcosx的部分影象是（ ）。

解：∵ f(x)=-xcosx，∴ f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x),

那麼f(x)是奇函式(x∈R)，可在B、D中選，

又∵ 設影象上一點 ，在x軸下方，

∴ 應選D。

5．已知函式f(x)=x2+2x·tanθ-1， ，其中 。

（1）當 時，求函式f(x)的最大值與最小值；

（2）求θ的取值範圍，使y=f(x)在區間 上是。

解：（1）當 時， ，

∴ 時，f(x)的最小值為 ，

x=-1時，f(x)的最大值為 。

（2）函式f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ影象的對稱軸為x=-tanθ，

∵ y=f(x)在區間[-1, ]上是，

∴ -tanθ≤-1或 ，

即tanθ≥1或tanθ≤ ,

因此，θ的取值範圍是 。

評註：本題是二次函式與三角函式基本知識的綜合題，問題（1）解中，得到二次函式的解析式後，要注意區間端點處的函式值與該函式的最值的正確比較，加以取捨。

第（2）問中，依題設f(x)在區間 上是單調函式，要分類考慮，若是單調遞增，則-tanθ≤-1，若是單調遞減，則 ，這一步是解題的關鍵，也是難點。

6．已知函式 x∈R。

（I）當函式y取得最大值時，求自變數x的集合；

（II）該函式的影象可由y=sinx(x∈R)的影象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

解：（I）

y取得最大值必須且只需

即 k∈Z。

所以當函式y取得最大值時，自變數x的集合為 .

（II）將函式y=sinx依次進行如下變換：

(i)把函式y=sinx的影象向左平移 ，得到函式 的影象；

(ii)把得到的影象上各點橫座標縮短到原來的 倍（縱座標不變），得到函式 的影象；

(iii)把得到的影象上各點縱座標縮短到原來的 倍（橫座標不變），得到函式 的影象；

(IV)把得到的影象向上平移 個單位長度，得到函式 的影象；

綜上得到函式 的影象。