拓撲空間（topological space），賦予拓撲結構的集合。如果對一個非空集合X給予適當的結構，使之能引入微積分中的極限和連續的概念，這樣的結構就稱為拓撲，具有拓撲結構的空間稱為拓撲空間。引入拓撲結構的方法有多種，如鄰域系、開集系、閉集系、閉包系、內部系等不同方法。
在微積分學中，實一維歐幾里得空間R′上的開集具有性質： ①任意個開集的並是開集 。
拓撲空間
②有限個開集的交是開集。 ③R′及空集是開集。對任一非空集合X，若X的一個子集族J 滿足： ①J中元的任意並在J中。 ②J中元的有限交在J中。 ③X、空集在J中，則稱J是X的一個拓撲，J中的元稱為開集，X連同拓撲J稱為一個拓撲空間，記為（X，J）。 注意到如能在X中給出度量則自然在X中給出拓撲（由度量決定的開集）。 於是度量空間都是拓撲空間。但不是所有拓撲空間都可定義度量，使得該度量下的開集族與原拓撲空間的開集族一致；詳見度量化定理。
對任意x∈X，如果Z的子集U包含含有x的一個開集則U稱為x的一個鄰域。如果X的子集A滿足X－A是開集，則稱X是閉集。
設X是非空集合，令J0＝｛X，｝，稱（X，J0）為平庸拓撲空間，J0為平庸拓撲。令J1＝｛A｜AÌX｝，稱（X，J1）為離散拓撲空間。在離散拓撲空間中任意子集均是開集。對實數集R1，令J＝｛BÌR1｜"x∈G，∈ε＞0，使（x－ε，x＋ε）ÌG｝，則（R1，J）就是一維歐幾里得空間。類似地可定義n維歐幾里得空間Rn。 設X是拓撲空間，如果X可寫為非空開集的分離並，則X稱為連通空間；如果對X中任意兩點 ，存在X中的道路相連線，則稱X為道路連通空間 ；如果X的任意開集作成的覆蓋存在有限子覆蓋 ，則稱X為緊空間；如果X中的任意序列有收斂子列，則稱X是列緊空間 ；如果X中任意兩點都存在不相交的鄰域 ，則稱X是豪斯多夫空間（或T2空間）。上面所提連通性，道路連通性、緊性、列緊性、T2性均是拓撲不變性。連通空間上的實值連續函式具有介值性，即若f∶X→R1連續，X是連通空間，r∈（f（x1），f（x2），則存在c∈（x1，x2）（或c∈（x2，x1）），使f（c）＝r。緊空間上的實值連續函式具有最大值、最小值。緊空間上的連續函式一致連續。若AÌRn，則A為緊，當且僅當A是有界閉集。
稱拓撲空間為Hausdorff空間，如果空間中任意兩點有不交的鄰域。注意有些拓撲空間不是Hausdorff空間，如定義了平凡拓撲的空間，連續函式芽集等。
歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一點賦予一種確定的鄰近結構便成為一個拓撲空間。構造鄰近結構有多種方法，常用的是指定開集的方法。給定集x,它的一個子集族J稱為x上的一個拓撲結構,簡稱拓撲,是指J滿足下列三個條件：
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①空集和x本身是J的元; ②J內任意有限多個元的交仍是J的元； ③J內任意多個元的並仍是J的元。 集x連同它上面的一個拓撲J,構成一個拓撲空間,簡稱空間。J的元叫x的開集,開集的補集叫閉集。任何集x上總可以賦予拓撲。例如，x的一切子集組成的族就是x上的一個拓撲, 叫離散拓撲，對應的空間叫離散空間;另一個拓撲僅由空集與x自己所組成,叫平凡拓撲。如果集x上定義了一個度量或距離函式，那麼x內可以用一些開球的並表示的一切子集組成x上的一個拓撲，叫度量拓撲。一切開球組成的集族稱為這個拓撲的一個基。一般地，拓撲J的一個子族B稱為J的一個基，是指 J的每個元可表為B的一些元的並。這時,也說拓撲J是由B生成的。拓撲J的一個子族φ稱為J的一個子基是指φ中元的所有有限交構成的集族是J的一個基。設A是拓撲空間x的任一子集。規定A的開集是x的開集與A的交，於是A自己構成一個拓撲空間,稱為x的子空間。
積空間
任意兩個集 A1和 A2的笛卡兒積定義為集。兩個拓撲空間x1與x2的笛卡兒積x1×x2上可以引入乘積拓撲如下:其基中的元是形如 A1×A2的集, 這裡 Ai是 xi的任意開集,i=1,2。這樣得到的拓撲空間稱為空間x1與x2的積空間。x1與x2叫因子空間。積空間可以推廣到任意多個因子的情況。 任意集族{Aα}α∈I的笛卡兒積可類似地定義為集這裡Aα是xα的任意開集，並且這些Aα(α∈I)中除有限多個外都等於xα。這樣得到的拓撲空間稱為空間族{xα}α∈I的積空間。
商空間
設x 是拓撲空間，將x 劃分為兩兩不相交的子集, 把每個子集看作一個點, 就得到一個新的集H。H的每個點可以看作是由x 的某個相應子集中的點重疊而成。規定H的子集U是開集當且僅當U的一切元的並是x的開集。這樣，H便構成一個拓撲空間，叫x的商空間。例如,讓x表平面上的長方形帶ABCDEF,並作為數平面R2的子空間。先把帶扭轉180°,再把FD邊與CA邊粘合起來，這樣得到的圖形叫麥比烏斯帶。這時點A與D重合，C與F、B與E也重合,等等。如果將x劃分為下列兩兩不相交的子集：｛A,D｝,｛C,F｝,｛B,E｝,…以及所有單點集｛p｝，這裡p是x的不在兩條豎直邊上的點。所得的商空間就是麥比烏斯帶。
連續對映與同胚
設捠強佔鋢 到空間Y的對映，即對於x內每一點x,Y內有惟一一點y與它對應。這個y叫x在捪碌南?記為?x)；稱捠橇成涫侵付訷的每個開集G,其逆像?1【G】={x∈x｜?x)∈G}是x的開集。如果x內任意兩個不同的點有不同的像，就稱捠塹ド洹Ｈ綣鸜內每一點必是x 內某一點的像，就稱捠鍬洹４湧佔鋢到Y的每個既單又滿對映挶賾心嬗成鋑,它是Y到x上的既單又滿對映，這裡g(y)=x當且僅當?x)=y。這時如果捄蚲都連續，便稱捨哂成洹Ａ礁鐾仄絲佔涑莆叩?是指它們之間存在一個同胚對映。n維歐幾里得空間Rn的任一開球作為子空間與Rn同胚。另一方面，1913年荷蘭數學家L.E.J.布勞威爾證明了：當m不等於n時,Rm與Rn不同胚。
第一與第二可數空間
拓撲空間稱為第二可數的是指它的拓撲有一個可數基。Rn是第二可數空間，因為半徑與球心座標皆為有理數的一切開球組成Rn上拓撲的可數基。設A是空間x的任一子集。x的子集W 稱為子集A的鄰域是指存在開集U包含A且包含在W內。點x的鄰域即子集{x}的鄰域。由點x的一切鄰域組成的集族Ux叫點的鄰域系。Ux的子族Bx稱為x的鄰域基或區域性基是指對於Ux的每個元U，Bx中相應地有元B,使B吇U。如果空間x 的每一點都有一個可數區域性基，便稱為第一可數空間。第二可數空間與度量空間都是第一可數空間。
緊空間
拓撲空間x的子集族 U稱為x 的覆蓋是指x 可表為U的一切元的並。由開集組成的覆蓋叫開覆蓋。如果T2空間x的每個開覆蓋有一個有限子族仍是x的覆蓋，則x稱為緊空間。n維歐幾里得空間Rn中的有界閉集，即可以包含於某個球內的閉集，作為Rn的子空間是緊空間。但Rn本身不是緊空間。任意一族緊空間的積空間仍是緊空間。連續對映把緊空間映成緊空間，只要映成的空間是T2的。與一個度量空間同胚的拓撲空間叫可度量空間。1924年，蘇聯拓撲學家∏.C.烏雷松證明了：緊空間是可度量的當且僅當它是第二可數的。在第二可數或度量空間範圍內，一個空間是緊的當且僅當它是列緊的，即是T2空間且它的每個點列有一個收斂子序列。
仿緊空間
1944年由法國數學家J.迪厄多內提出的仿緊空間是緊空間的一種重要推廣。空間內的一個子集族U稱為區域性有限的是指空間內每一點有一個鄰域與U內至多有限多個元相交。設U、V是空間x的任二開覆蓋,如果U的每個元是V的某個元的子集，則稱U加細V或U是V的一個加細。一個T2空間稱為仿緊空間是指對於它的每個開覆蓋V，存在一個區域性有限的開覆蓋U加細V。緊空間和度量空間都是仿緊空間。
連通空間
有一類簡單的幾何圖形只由“一片”所組成，這就是連通空間的直觀含義。拓撲空間稱為連通空間是指它不能表示為兩個不相交的不空開集的並。等價地，從它到由兩個點組成的離散空間的每個連續函式是常值的，即每一點的像皆相同。Rn是連通空間。R1內的連通子空間恰好是區間，包括帶一個或兩個端點的或不帶端點的，有限或無限的。每個緊連通空間稱為連續統。編輯本段分離公理
主要有下面幾條。
T1分離公理
空間內任何兩個不同的點都各有一個領域不含另一點。
豪斯多夫分離公理
（T2分離公理) 空間內任何兩個不同的點都各有鄰域互不相交。
正則分離公理
空間內每一點以及不含該點的任一閉集都各有鄰域互不相交。
全正則分離公理
對於空間x 內每一點x及不含x的任一閉集B，存在連續對映挕脁→【0,1】，使得?x)=0且對B內每一點y，?y)=1。
正規分離公理
空間內任何兩個不相交的閉集都各有鄰域互不相交。 滿足T1分離公理的空間叫T1空間。滿足T2分離公理的空間叫T2空間或豪斯多夫空間。一個T1空間如果還滿足正則分離公理或全正則分離公理或正規分離公理，則分別稱為正則空間，全正則空間和正規空間。各空間之間的蘊含關係可用“崊”表示如下：正規空間崊全正則空間崊正則空間崊T2空間崊T1空間。度量空間以及下述的緊空間和仿緊空間都是正規空間。
拓撲空間（topological space），賦予拓撲結構的集合。如果對一個非空集合X給予適當的結構，使之能引入微積分中的極限和連續的概念，這樣的結構就稱為拓撲，具有拓撲結構的空間稱為拓撲空間。引入拓撲結構的方法有多種，如鄰域系、開集系、閉集系、閉包系、內部系等不同方法。
在微積分學中，實一維歐幾里得空間R′上的開集具有性質： ①任意個開集的並是開集 。
拓撲空間
②有限個開集的交是開集。 ③R′及空集是開集。對任一非空集合X，若X的一個子集族J 滿足： ①J中元的任意並在J中。 ②J中元的有限交在J中。 ③X、空集在J中，則稱J是X的一個拓撲，J中的元稱為開集，X連同拓撲J稱為一個拓撲空間，記為（X，J）。 注意到如能在X中給出度量則自然在X中給出拓撲（由度量決定的開集）。 於是度量空間都是拓撲空間。但不是所有拓撲空間都可定義度量，使得該度量下的開集族與原拓撲空間的開集族一致；詳見度量化定理。
對任意x∈X，如果Z的子集U包含含有x的一個開集則U稱為x的一個鄰域。如果X的子集A滿足X－A是開集，則稱X是閉集。
拓撲空間
設X是非空集合，令J0＝｛X，｝，稱（X，J0）為平庸拓撲空間，J0為平庸拓撲。令J1＝｛A｜AÌX｝，稱（X，J1）為離散拓撲空間。在離散拓撲空間中任意子集均是開集。對實數集R1，令J＝｛BÌR1｜"x∈G，∈ε＞0，使（x－ε，x＋ε）ÌG｝，則（R1，J）就是一維歐幾里得空間。類似地可定義n維歐幾里得空間Rn。 設X是拓撲空間，如果X可寫為非空開集的分離並，則X稱為連通空間；如果對X中任意兩點 ，存在X中的道路相連線，則稱X為道路連通空間 ；如果X的任意開集作成的覆蓋存在有限子覆蓋 ，則稱X為緊空間；如果X中的任意序列有收斂子列，則稱X是列緊空間 ；如果X中任意兩點都存在不相交的鄰域 ，則稱X是豪斯多夫空間（或T2空間）。上面所提連通性，道路連通性、緊性、列緊性、T2性均是拓撲不變性。連通空間上的實值連續函式具有介值性，即若f∶X→R1連續，X是連通空間，r∈（f（x1），f（x2），則存在c∈（x1，x2）（或c∈（x2，x1）），使f（c）＝r。緊空間上的實值連續函式具有最大值、最小值。緊空間上的連續函式一致連續。若AÌRn，則A為緊，當且僅當A是有界閉集。
拓撲空間
稱拓撲空間為Hausdorff空間，如果空間中任意兩點有不交的鄰域。注意有些拓撲空間不是Hausdorff空間，如定義了平凡拓撲的空間，連續函式芽集等。
歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一點賦予一種確定的鄰近結構便成為一個拓撲空間。構造鄰近結構有多種方法，常用的是指定開集的方法。給定集x,它的一個子集族J稱為x上的一個拓撲結構,簡稱拓撲,是指J滿足下列三個條件：
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①空集和x本身是J的元; ②J內任意有限多個元的交仍是J的元； ③J內任意多個元的並仍是J的元。 集x連同它上面的一個拓撲J,構成一個拓撲空間,簡稱空間。J的元叫x的開集,開集的補集叫閉集。任何集x上總可以賦予拓撲。例如，x的一切子集組成的族就是x上的一個拓撲, 叫離散拓撲，對應的空間叫離散空間;另一個拓撲僅由空集與x自己所組成,叫平凡拓撲。如果集x上定義了一個度量或距離函式，那麼x內可以用一些開球的並表示的一切子集組成x上的一個拓撲，叫度量拓撲。一切開球組成的集族稱為這個拓撲的一個基。一般地，拓撲J的一個子族B稱為J的一個基，是指 J的每個元可表為B的一些元的並。這時,也說拓撲J是由B生成的。拓撲J的一個子族φ稱為J的一個子基是指φ中元的所有有限交構成的集族是J的一個基。設A是拓撲空間x的任一子集。規定A的開集是x的開集與A的交，於是A自己構成一個拓撲空間,稱為x的子空間。
積空間
任意兩個集 A1和 A2的笛卡兒積定義為集。兩個拓撲空間x1與x2的笛卡兒積x1×x2上可以引入乘積拓撲如下:其基中的元是形如 A1×A2的集, 這裡 Ai是 xi的任意開集,i=1,2。這樣得到的拓撲空間稱為空間x1與x2的積空間。x1與x2叫因子空間。積空間可以推廣到任意多個因子的情況。 任意集族{Aα}α∈I的笛卡兒積可類似地定義為集這裡Aα是xα的任意開集，並且這些Aα(α∈I)中除有限多個外都等於xα。這樣得到的拓撲空間稱為空間族{xα}α∈I的積空間。
拓撲空間
商空間
設x 是拓撲空間，將x 劃分為兩兩不相交的子集, 把每個子集看作一個點, 就得到一個新的集H。H的每個點可以看作是由x 的某個相應子集中的點重疊而成。規定H的子集U是開集當且僅當U的一切元的並是x的開集。這樣，H便構成一個拓撲空間，叫x的商空間。例如,讓x表平面上的長方形帶ABCDEF,並作為數平面R2的子空間。先把帶扭轉180°,再把FD邊與CA邊粘合起來，這樣得到的圖形叫麥比烏斯帶。這時點A與D重合，C與F、B與E也重合,等等。如果將x劃分為下列兩兩不相交的子集：｛A,D｝,｛C,F｝,｛B,E｝,…以及所有單點集｛p｝，這裡p是x的不在兩條豎直邊上的點。所得的商空間就是麥比烏斯帶。
連續對映與同胚
設捠強佔鋢 到空間Y的對映，即對於x內每一點x,Y內有惟一一點y與它對應。這個y叫x在捪碌南?記為?x)；稱捠橇成涫侵付訷的每個開集G,其逆像?1【G】={x∈x｜?x)∈G}是x的開集。如果x內任意兩個不同的點有不同的像，就稱捠塹ド洹Ｈ綣鸜內每一點必是x 內某一點的像，就稱捠鍬洹４湧佔鋢到Y的每個既單又滿對映挶賾心嬗成鋑,它是Y到x上的既單又滿對映，這裡g(y)=x當且僅當?x)=y。這時如果捄蚲都連續，便稱捨哂成洹Ａ礁鐾仄絲佔涑莆叩?是指它們之間存在一個同胚對映。n維歐幾里得空間Rn的任一開球作為子空間與Rn同胚。另一方面，1913年荷蘭數學家L.E.J.布勞威爾證明了：當m不等於n時,Rm與Rn不同胚。
第一與第二可數空間
拓撲空間稱為第二可數的是指它的拓撲有一個可數基。Rn是第二可數空間，因為半徑與球心座標皆為有理數的一切開球組成Rn上拓撲的可數基。設A是空間x的任一子集。x的子集W 稱為子集A的鄰域是指存在開集U包含A且包含在W內。點x的鄰域即子集{x}的鄰域。由點x的一切鄰域組成的集族Ux叫點的鄰域系。Ux的子族Bx稱為x的鄰域基或區域性基是指對於Ux的每個元U，Bx中相應地有元B,使B吇U。如果空間x 的每一點都有一個可數區域性基，便稱為第一可數空間。第二可數空間與度量空間都是第一可數空間。
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緊空間
拓撲空間x的子集族 U稱為x 的覆蓋是指x 可表為U的一切元的並。由開集組成的覆蓋叫開覆蓋。如果T2空間x的每個開覆蓋有一個有限子族仍是x的覆蓋，則x稱為緊空間。n維歐幾里得空間Rn中的有界閉集，即可以包含於某個球內的閉集，作為Rn的子空間是緊空間。但Rn本身不是緊空間。任意一族緊空間的積空間仍是緊空間。連續對映把緊空間映成緊空間，只要映成的空間是T2的。與一個度量空間同胚的拓撲空間叫可度量空間。1924年，蘇聯拓撲學家∏.C.烏雷松證明了：緊空間是可度量的當且僅當它是第二可數的。在第二可數或度量空間範圍內，一個空間是緊的當且僅當它是列緊的，即是T2空間且它的每個點列有一個收斂子序列。
仿緊空間
1944年由法國數學家J.迪厄多內提出的仿緊空間是緊空間的一種重要推廣。空間內的一個子集族U稱為區域性有限的是指空間內每一點有一個鄰域與U內至多有限多個元相交。設U、V是空間x的任二開覆蓋,如果U的每個元是V的某個元的子集，則稱U加細V或U是V的一個加細。一個T2空間稱為仿緊空間是指對於它的每個開覆蓋V，存在一個區域性有限的開覆蓋U加細V。緊空間和度量空間都是仿緊空間。
連通空間
有一類簡單的幾何圖形只由“一片”所組成，這就是連通空間的直觀含義。拓撲空間稱為連通空間是指它不能表示為兩個不相交的不空開集的並。等價地，從它到由兩個點組成的離散空間的每個連續函式是常值的，即每一點的像皆相同。Rn是連通空間。R1內的連通子空間恰好是區間，包括帶一個或兩個端點的或不帶端點的，有限或無限的。每個緊連通空間稱為連續統。編輯本段分離公理
主要有下面幾條。
T1分離公理
空間內任何兩個不同的點都各有一個領域不含另一點。
豪斯多夫分離公理
（T2分離公理) 空間內任何兩個不同的點都各有鄰域互不相交。
正則分離公理
空間內每一點以及不含該點的任一閉集都各有鄰域互不相交。
全正則分離公理
對於空間x 內每一點x及不含x的任一閉集B，存在連續對映挕脁→【0,1】，使得?x)=0且對B內每一點y，?y)=1。
正規分離公理
空間內任何兩個不相交的閉集都各有鄰域互不相交。 滿足T1分離公理的空間叫T1空間。滿足T2分離公理的空間叫T2空間或豪斯多夫空間。一個T1空間如果還滿足正則分離公理或全正則分離公理或正規分離公理，則分別稱為正則空間，全正則空間和正規空間。各空間之間的蘊含關係可用“崊”表示如下：正規空間崊全正則空間崊正則空間崊T2空間崊T1空間。度量空間以及下述的緊空間和仿緊空間都是正規空間。