搜尋，那青蔥歲月在腦海中留下的記憶的碎片... ... 或許大家還依稀的還記得：
在三維立體空間中，兩個直線L，I相交，如果 L, I 所成角度等於 90°，我們稱 L 垂直於 I，記為 L ⊥ I。
那麼當 L，I 不相交呢？這難不倒數學家，他們給出瞭如下定義：
當 L，I 不相交時，我們 過 L 上任意一點 x，做 I 的平行線 I"，如果 L, I" 所成角度等於 90° 我們依然稱 稱 L 垂直於 I，記為 L ⊥ I。
進一步，數學家又定義了：
如果 直線 L 和 平面 A 中的 每一條直線都垂直，則稱 L 垂直於 A，記為 記為 L ⊥ A。
接著就有了如下定理：
設 A 是 平面 或直線，過一點 x 有且只有一條直線 L 與 A 垂直相交，L 與 A 的交點 x₀ 稱為 垂足，x 到 x₀ 的直線段距離 |x - x₀| 稱為 x 到 A 的距離，對於 A 總任意點 y，則有 |x - x₀| ≤ |x - y|，即，x₀ 是 A 中到 x 點距離最短的點。
以上大家關於高中《立體幾何》的集體回憶。詳細可以見，蘇教版 數學必修 2 的第1章：立體幾何初步，人教版和北師大版也有相關章節（注意：小石頭稍微做了些改動）。
所謂的投影定理（projection theorem），就是將上面那個 立體幾何版的 “投影定理” 搬到了 Hilbert 空間 中，具體內容如下：
投影定理： 設 H 是 Hilbert 空間， G ⊆ H 是子空間，對於任意 x ∈ H，存在唯一的 x₀ ∈ G，使得：
並且：
我們 稱 x₀ 是 x 在 G 上的 投影，‖x - x₀‖ 是 x 到 G 的距離 。
什麼是 Hilbert 空間 ？Hilbert 空間 就是 完備的內積空間。
什麼是 內積空間？內積空間 就是定義了 內積運算 的 線性空間。
什麼是 線性空間？我們中學學過 向量，線性空間就是元素是向量的集合，並且對於向量的 加法 和 數乘運算 封閉。
什麼是 內積？內積就是 中學學過 的 向量 x, y 的點乘 x · y 的抽象，只不過我們習慣記為 (x, y) ，內積的值是一個複數，並要求其滿足：
什麼是 完備的？
如果 距離空間（也稱為 度量空間）中 的 基本列（也叫 Cauchy 列）都是 收斂的，則成 該距離空間 是 完備的。
什麼是 距離空間？
就是定理了距離 的空間。
什麼是 距離？
就是 我們 小學平面幾何，中的 兩點 x，y 之間距離 的 抽象，記為 d(x, y)，距離的值是一個實數，要求滿足：
既然 ”完備的“ 是 距離空間的 事情 和 那麼 為什麼一開始說 ：完備的內積空間？
因為 可以從 內積 透過 範數 來定義 出 距離，這時的 內積空間 一定是 距離空間。
什麼是 範數？
範數就是 中學所學 向量x 的長度，即，模 |x| 的抽象，記為 ‖x‖，範數的值是一個實數，要求滿足：
定義的範數的線性空間，稱為 賦範空間。
如何從內積定義出範數，然後從範數定義出距離？
（定義的良性驗證這裡省略，大家有興趣可以參考《泛函分析》）
投影定理 裡的 ‖x - x₀‖ 和 ‖x - y‖ 就是 x 點 分別 到 x₀ 和 y 點的 距離。
什麼是子空間？
對於 Hilbert 空間 H 子集 G，如果 G 也是一個 Hilbert 空間 ，則 G 是 H 的 子空間。
在 Hilbert空間 H 中，兩個 非零向量 x，y 的夾角 定義為：
Cauchy 不等式：
保證了該定義的良性。
根據這個定義，當 (x, y) = 0 時，∠xy 等於 90°，稱 x 和 y 正交（垂直），記為 x ⊥ y。對於 G ⊆ H 如果 x ∈ H，使得 任意 y ∈ G，都有 x ⊥ y，則稱 x 和 G 正交，記為 x ⊥ G。定理中， G┴ 稱為 G 的正交補，定義為：
投影定理證明：
首先，明確，Hilbert 子空間 G，一定是 完備的凸集。
證明第一部分
由於距離函式是連續函式，因此，當 x ∈ H，取定後， ‖x - y‖ : G → R 是也是連續的。由距離的正定性知： ran(‖x - y‖) 有下界 0，再根據：
實數具有下確界性，即，實數的任意非空子集，如果有下界則必然有下確界。
則，‖x - y‖ 的下確界，即，令：
則 d 存在。
同理 ‖x - y‖² 的 下確界 就是 d²。又因為 ‖x - y‖² 也是連續的，所以 存在 序列 {y_k ∈ G} 使得，對於 任意 ε > 0，存在 N 當 k > N 時，有：
根據 公式 ①：
對於 {y_k} 中的 任意 兩點 y_n, y_m，令 a = x - y_m, b = x - y_n，有：
因為 G 是 凸集，而 y_n, y_m ∈ G，所以 (y_n + y_m)/2 ∈ G，於是 ‖x - (y_n + y_m)/2‖ ≥ d，進而：
對於任意 ε" > 0，令 ε = ε"/4 > 0，於是 當 n, m > N 時，有：
這樣就證明了 {y_k} 是一個基本列，因為 G 是 完備的，所以 一定存在 極限，令：
使得： ‖x - x₀‖² = d²，即，
證明唯一性
如果，存在 x₁ ∈ G 也滿足 ‖x - x₁‖ = d。令 a = x - x₀, b = x - x₁ 帶入 公式① 有：
和上面類似地，因為 G 是凸集 x₀,x₁ ∈ G 所以 (x₀ + x₁)/2 ∈ G，於是 ‖x - (x₀ + x₁ )/2‖ ≥ d，進而：
故 ‖x₀ - x₁‖ = 0，根據距離的正定性，有 x₀ = x₁，唯一性得證。
證明第二部分
任意取 y ∈ G 和 任意 複數 α , 根據 G 的線性封閉性 有 x₀ + αy ∈ G，再根據 ‖x - x₀‖ = d 的最小性，有：
再利用 公式 ②：
得到：
即，
由於 α 的任意性，於是可以 令：
帶入上面不等式，有：
要讓上面的不等式成立，只能是 (x - x₀, y) = 0，即，x - x₀ ⊥ y。有因為 y 在 G 中 的任意性，於是得到：x - x₀ ⊥ G，即， x - x₀ ∈ G┴。
投影定理得證。
投影定理是 Hilbert 空間 特有的性質，之後會和 投影運算元有關係，但這就扯遠了，我們就此打住。最後，附上 證明中 兩個公式的簡單推導。
公式 ② 推導：
根據公式 ② 有：
以上結果，稍作變形就是 公式 ① 了。
（能提出這個問題的人，不能不知道答案 :-) ，以上僅僅是小石頭的個人的理解，僅供題主參考。）
搜尋，那青蔥歲月在腦海中留下的記憶的碎片... ... 或許大家還依稀的還記得：
在三維立體空間中，兩個直線L，I相交，如果 L, I 所成角度等於 90°，我們稱 L 垂直於 I，記為 L ⊥ I。
那麼當 L，I 不相交呢？這難不倒數學家，他們給出瞭如下定義：
當 L，I 不相交時，我們 過 L 上任意一點 x，做 I 的平行線 I"，如果 L, I" 所成角度等於 90° 我們依然稱 稱 L 垂直於 I，記為 L ⊥ I。
進一步，數學家又定義了：
如果 直線 L 和 平面 A 中的 每一條直線都垂直，則稱 L 垂直於 A，記為 記為 L ⊥ A。
接著就有了如下定理：
設 A 是 平面 或直線，過一點 x 有且只有一條直線 L 與 A 垂直相交，L 與 A 的交點 x₀ 稱為 垂足，x 到 x₀ 的直線段距離 |x - x₀| 稱為 x 到 A 的距離，對於 A 總任意點 y，則有 |x - x₀| ≤ |x - y|，即，x₀ 是 A 中到 x 點距離最短的點。
以上大家關於高中《立體幾何》的集體回憶。詳細可以見，蘇教版 數學必修 2 的第1章：立體幾何初步，人教版和北師大版也有相關章節（注意：小石頭稍微做了些改動）。
所謂的投影定理（projection theorem），就是將上面那個 立體幾何版的 “投影定理” 搬到了 Hilbert 空間 中，具體內容如下：
投影定理： 設 H 是 Hilbert 空間， G ⊆ H 是子空間，對於任意 x ∈ H，存在唯一的 x₀ ∈ G，使得：
並且：
我們 稱 x₀ 是 x 在 G 上的 投影，‖x - x₀‖ 是 x 到 G 的距離 。
說明：什麼是 Hilbert 空間 ？Hilbert 空間 就是 完備的內積空間。
什麼是 內積空間？內積空間 就是定義了 內積運算 的 線性空間。
什麼是 線性空間？我們中學學過 向量，線性空間就是元素是向量的集合，並且對於向量的 加法 和 數乘運算 封閉。
什麼是 內積？內積就是 中學學過 的 向量 x, y 的點乘 x · y 的抽象，只不過我們習慣記為 (x, y) ，內積的值是一個複數，並要求其滿足：
什麼是 完備的？
如果 距離空間（也稱為 度量空間）中 的 基本列（也叫 Cauchy 列）都是 收斂的，則成 該距離空間 是 完備的。
什麼是 距離空間？
就是定理了距離 的空間。
什麼是 距離？
就是 我們 小學平面幾何，中的 兩點 x，y 之間距離 的 抽象，記為 d(x, y)，距離的值是一個實數，要求滿足：
既然 ”完備的“ 是 距離空間的 事情 和 那麼 為什麼一開始說 ：完備的內積空間？
因為 可以從 內積 透過 範數 來定義 出 距離，這時的 內積空間 一定是 距離空間。
什麼是 範數？
範數就是 中學所學 向量x 的長度，即，模 |x| 的抽象，記為 ‖x‖，範數的值是一個實數，要求滿足：
定義的範數的線性空間，稱為 賦範空間。
如何從內積定義出範數，然後從範數定義出距離？
（定義的良性驗證這裡省略，大家有興趣可以參考《泛函分析》）
投影定理 裡的 ‖x - x₀‖ 和 ‖x - y‖ 就是 x 點 分別 到 x₀ 和 y 點的 距離。
什麼是子空間？
對於 Hilbert 空間 H 子集 G，如果 G 也是一個 Hilbert 空間 ，則 G 是 H 的 子空間。
在 Hilbert空間 H 中，兩個 非零向量 x，y 的夾角 定義為：
Cauchy 不等式：
保證了該定義的良性。
根據這個定義，當 (x, y) = 0 時，∠xy 等於 90°，稱 x 和 y 正交（垂直），記為 x ⊥ y。對於 G ⊆ H 如果 x ∈ H，使得 任意 y ∈ G，都有 x ⊥ y，則稱 x 和 G 正交，記為 x ⊥ G。定理中， G┴ 稱為 G 的正交補，定義為：
投影定理證明：
首先，明確，Hilbert 子空間 G，一定是 完備的凸集。
證明第一部分
由於距離函式是連續函式，因此，當 x ∈ H，取定後， ‖x - y‖ : G → R 是也是連續的。由距離的正定性知： ran(‖x - y‖) 有下界 0，再根據：
實數具有下確界性，即，實數的任意非空子集，如果有下界則必然有下確界。
則，‖x - y‖ 的下確界，即，令：
則 d 存在。
同理 ‖x - y‖² 的 下確界 就是 d²。又因為 ‖x - y‖² 也是連續的，所以 存在 序列 {y_k ∈ G} 使得，對於 任意 ε > 0，存在 N 當 k > N 時，有：
根據 公式 ①：
對於 {y_k} 中的 任意 兩點 y_n, y_m，令 a = x - y_m, b = x - y_n，有：
因為 G 是 凸集，而 y_n, y_m ∈ G，所以 (y_n + y_m)/2 ∈ G，於是 ‖x - (y_n + y_m)/2‖ ≥ d，進而：
對於任意 ε" > 0，令 ε = ε"/4 > 0，於是 當 n, m > N 時，有：
這樣就證明了 {y_k} 是一個基本列，因為 G 是 完備的，所以 一定存在 極限，令：
使得： ‖x - x₀‖² = d²，即，
證明唯一性
如果，存在 x₁ ∈ G 也滿足 ‖x - x₁‖ = d。令 a = x - x₀, b = x - x₁ 帶入 公式① 有：
和上面類似地，因為 G 是凸集 x₀,x₁ ∈ G 所以 (x₀ + x₁)/2 ∈ G，於是 ‖x - (x₀ + x₁ )/2‖ ≥ d，進而：
故 ‖x₀ - x₁‖ = 0，根據距離的正定性，有 x₀ = x₁，唯一性得證。
證明第二部分
任意取 y ∈ G 和 任意 複數 α , 根據 G 的線性封閉性 有 x₀ + αy ∈ G，再根據 ‖x - x₀‖ = d 的最小性，有：
再利用 公式 ②：
得到：
即，
注意：由於 α 的任意性，於是可以 令：
帶入上面不等式，有：
注意：要讓上面的不等式成立，只能是 (x - x₀, y) = 0，即，x - x₀ ⊥ y。有因為 y 在 G 中 的任意性，於是得到：x - x₀ ⊥ G，即， x - x₀ ∈ G┴。
投影定理得證。
投影定理是 Hilbert 空間 特有的性質，之後會和 投影運算元有關係，但這就扯遠了，我們就此打住。最後，附上 證明中 兩個公式的簡單推導。
公式 ② 推導：
根據公式 ② 有：
以上結果，稍作變形就是 公式 ① 了。
（能提出這個問題的人，不能不知道答案 :-) ，以上僅僅是小石頭的個人的理解，僅供題主參考。）