半群是一個二元運算的代數系統。　　設V=<S，*>是代數系統，*是二元運算，如果*是可結合的，即a*b*c=a*(b*c)，則稱V是半群。　　半群定義：　　定義1：對於某非空集合S,若存在S上的二元運算"*"使得對於任意的a,b∈S,有a*b∈S（運算封閉），則稱{S,*}為廣群。　　定義2：若{S,*}為廣群，且*在S上滿足結合律，則稱{S,*}為半群。　　定理1：設{S,*}是一個半群，B包含於S且*在B上封閉，則{B,*}也是一個半群，通常稱為{S,*}的子半群。　　定理2：若{S,*}為半群，且S是有限集，則必有元a∈S,使a*a=a。　　定理說明有限半群必有冪等元。　　定義3：含有么元的半群稱為么半群。有時么半群也記{S,*,e}。　　定理3：設{S,*}為么半群，則關於*的運算表中任何兩行或兩列都不同。　　定理4：{S,*}為么半群，若對任a,b∈S，有逆元aˉ1,bˉ1,則　　1）(aˉ1)ˉ1=a　　2）a*b有逆且(a*b)ˉ1=bˉ1*aˉ1。　　班群的例：　　（Z，+），（Z，×），　　（N，×），（N，+），　　（Q，+），（R，×），　　（Zn，+），（Zn，×）　　（P(S),∪），（P(S),∩），　　（Mn，+），（Mn，×），　　（F[x],+）,(F[x],×)，　　S上全體對映，對於複合，　　（L，∧），（L，∨），L是格　　（A*,）,　　A*是A中字元組成的字串，　　是連線運算，

（這是關於《範疇論》一系列回答的第五篇，緊接在問題：”什麼叫做一一變換？“ 之後，小石頭將在本篇中對前面回答中遺漏的知識點進行補充。）

先回答題主的問題：簡單來說，給集合賦予滿足結合律的二元運算就是半群，具體分析如下：

自然數（包括零）是人類最早發現的一類數字，同時，加法運算也伴隨著自然數一併產生。將全體自然數的集合記為 N，則對於任意 a, b ∈ N 都有 a + b ∈ N，可見 加法運算 在 自然數集 中 封閉，於是加法運算就是 二元函式，

+: N × N → N, (a, b) ↦ a + b

早期勞動人民透過實踐，還總結出，加法滿足結合律，即，

(a + b) + c = a + (b + c)

於是連加，被寫成：

a + b + c

沒毛病！

緊接，古人有在加法基礎上發明了乘法運算，它同樣 在 自然數集 中 封閉，當然 也是 個 二元運算，

· : N × N → N, (a, b) ↦ a · b

同樣滿足 結合律，

(a · b) · c = a · (b · c)

比較，(N, +) 和 (N, ·)，它們完全類似，於是 數學家 對它們進行了抽象，得到如下定義：

給定 非空集合 X，以及 X 上的 二元運算 ∘: X × X → X，如果 該運算 滿足 結合律，即，

(a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)

則稱 (X, ∘) 為 半群，可簡寫為 X。

(N, +) 和 (N, ·) 都是半群的 例項，再觀察還能發現，它們中分別存在 0 和 1 這樣的特殊數字，使得：

a + 0 = 0 + a = a

a · 1 = 1 · a = a

於是 數學家 繼續抽象：

在 半群 (X, ∘) 中 如果存在 e ∈ X，使得：

e ∘ a = a ∘ e = e

則稱 (X, ∘) 為么半群，稱 e 為么元。

(N, +) 和 (N, ·) 也都是么半群的 例項。

么半群的例項很多，比如：

將，整數集、有理數集、實數集、複數集 分別記為 Z、Q、R、C，則 (Z, +)、(Z, ·)、(Q, +)、(Q, ·) 、(R, +)、(R, ·)、(C, +)、(C, ·) 都是 么半群；

用 K₊ 表示 K 中 大於 0 的元素，則 (Q₊, ·) 是么半群，而 (Z₊, +) 只是 半群 不是么半群；

Mn(K) 表示數域 K 上的 全體 n 階方陣，則 Mn(K) 在矩陣的 乘法運算下 構成 么半群，單位矩陣 E 就是其中的么元；

在 任意範疇 C 中，函子的 複合運算 ∘ 也滿足 結合律，但是 複合運算 僅僅是 MorC 上有條件 的 二元元素，即，

∘: MorC × MorC ⇝ MorC

必須滿足 cod f = dom g 的條件 g ∘ f 才存在，所以 (MorC, ∘) 一般來說並不是 么半群。

但是考慮 只含有 一個物件的範疇，例如，前文中提到的 由 一個物件 R 和全體 R 上的實數函式 構成的 範疇 Ṙ，可以保證滿足條件，而 1ʀ 則是么元，於是類似這樣的範疇全體態射和複合運算構成 么半群。首次啟發，對於 C 中任意物件 A，Hom(A) 關於 複合運算 也 構成 么半群。

函子範疇 Funct(A, B) 對於其中任意函子 F: A → B，其上所有 自由變換 在 自由變換的複合運算 下構成 么半群，其中 1ғ 是么元。

除了以上這樣已有的么半群，給定任意集合 X 我們還可以構造一個 么半群 Y，構造方法如下：

將 X 看做字母表，其中的元素稱為字母；

令 Y 是所有以 X 為字母的單詞的組成的集合；

把 Y 中任意兩個單詞 x, y 拼接在一起，得到的 xy 依然是單詞，於是 將這種拼接定義為 在 Y 上 二元運算為，即， x ∘ y = xy；

將空白 ” “ 視作字母，則有 x ∘ = x = ∘ x，將其 作為么元加入 Y；

最終，我們就得到了一個 么半群，稱為自由么半群。

實際的構造過程如下：

最初 令 Y = X；

任取 Y 中兩個元素 x 和 y，如果 xy 不屬於 Y 則令 Y = Y ∪ {xy}，一直重複這個過程；

最後 令 Y = Y ∪ {” “}；

例如：

如果 X = {a, b, c} 則構造結果為 Y = {” “, a, b, c, ab, ac, bc, ba, ca, cb, aabb, ...}

給定一個集合 X，以其作為字母表，我們可以構造一個 自由么半群 Y，反過來，給定一個 自由么半群 Y，我們也可以篩選出作為其字母表的集合 X。

觀察，(Z, +) 和 (Q, ·) 我們發現，它們還有共同點：

對於 任意 a ∈ Z，都有 b = -a ∈ Z 使得 a + b = b + a = 0；

對於 任意 a ∈ Q，都有 b = 1/a ∈ Z 使得 a · b = b · a = 1；

於是數學家規定，

如果 么半群 (X, ∘) 滿足，

對於 任意 a ∈ Y，都有 存在 b ∈ Y 使得 a ∘ b = b ∘ a = e，則該么半群 為 群，稱 b 為 a 的逆元，記為 a⁻¹。

有了以上這些抽象的代數系統的定義，數學家就可透過研究它們得到 普遍性的 數學結論，研究 抽象代數系統 的數學稱為《抽象代數》。

如果 兩個群 G 和 G" 之間的 函式 f: G → G" 如果 對於任意 a,b ∈ G ，都滿足：

f(a ∘ b) = f(a) ∘ f(b)

則稱 f 為 群同態。再 如果 f 又是雙射，則稱 f 為 群同構，並稱 G 和 G" 同構，記為， G ≅ G"。

群同態的函式複合還是群同態；每個群上的恆等變換是群同構。

於是，以 全體群作為物件 與 群之間的 全體 群同態作為態射，組成 一個範疇，記為 Grp。

考慮 函子 F: Grp → Set，它將 Grp 的每個 群 X 對映為 Set 中的 集合 X，Grp 的每個 群同態 f 對映為 Set 中的 函式 f， 我們稱這類函子為 忘卻函子。

群是不能為空的，最小的群是隻含有么元 e 的群，稱為 平凡群。在 Grp 平凡群 既是 初始物件 又是 終止物件，故 它是零物件。

設，e" 是 G" 的 么元，定義集合：

Ker(f) = {x ∈ G | f(x) = e}

稱 Ker(f) 為 f 的同態核。

那麼，我們如何 將 同態核 的概念 用範疇的語言來表示呢？

顯然 Ker(f) ⊆ G，因此存在 含入對映對映：i: Ker(f) → G。

可以證明 Ker(f) 是一個群，而 i 是 群同態，故 Ker(f) 是 Grp 的物件，i 是 Grp 的態射。

又可以定義 常值群同態 z : G → G"，z(x) = e"，這樣就有了：

zi = c

zi = c

即，

zi = fi

這滿足等子的條件。於是只要能保證 z 的存在我們就可以利用等子來 表達 同態核。

先看 z 是一個什麼東西？

由於 z 是 常值 的，於是 z 是 常態射，同時不難發現 z 還是 餘常態射，於是 z 是零態射。

經過數學家研究，發現如下定理：

如果 範疇 C 中存在 零物件，那麼對於任意物件 A，B 必然存在唯一的 零態射 z：A → B。

（由於篇幅有限，定理證明略。）

這樣，我們就可給 同態核 下如下定義：

在有 零物件 的範疇 C 中，對於任意 態射 f: A → B，設，z 是 A 到 B 的 零態射，稱 f 和 z 的等子 為 f 的核，記為 ker(f)。

我們還可以定義 核的 對偶概念：

在有 零物件 的範疇 C 中，對於任意 態射 f: A → B，設，z 是 A 到 B 的 零態射，稱 f 和 z 的 餘等子 為 f 的 餘核，記為 coker(f)。

在 Grp 中 群同態 f 不講 餘核，餘核 是 另一種 抽象代數系統 模 中 關於 模同態 的概念。

末尾，我們來聊一下，霍姆函子 Hᴀ, Hᴬ: C → Set，A ∈ ObC 的一些有趣特性。

給定 C 中的 任意 滿態射 f: B → C，如果 對於任意 態射 g: A → C 都有 h: A → B，使得

fh = g

則 Hᴀ(f): Hom(A, B) → Hom(A, C) 一定是 滿同態，反之亦然。為什麼呢？

由 fh = g 知 Hᴀ(f)(h) = g，即，對於任意 g ∈ Hom(A, C) 都存在 h ∈ Hom(A, B) 使得 Hᴀ(f)(h) = g，這符合 滿射的 定義，於是 Hᴀ(f) 是 滿同態。

這個推理過程可逆，因此 反之亦然。

類似地，給定 C 中的 任意 滿態射 f: C → B，如果 對於任意 態射 g: C → A 都有 h: B → A，使得

hf = g

則 Hᴬ(f): Hom(C, A) → Hom(B, A) 一定是 滿同態，反之亦然。證明和上面的類似。

如果 對於 C 中的任意 兩個 不同態射 f, g: B → C, f ≠ g，都有 h: A → B 使得

fh ≠ gh

則 Hᴀ 一定是 可信函子，反之亦然。為什麼呢？

由 fh ≠ gh 知 Hᴀ(f)(h) = Hᴀ(g)(h)，故 Hᴀ(f) ≠ Hᴀ(g)，於是得到：f ≠ g ⇒ Hᴀ(f) ≠ Hᴀ(g)，其逆反命題為：Hᴀ(f) = Hᴀ(g) ⇒ f = g，這符合單射的定義，所以 Hᴀ 在每個 Hom(B, C) 到 Hom(Hᴀ(B) = Hom(A, B), Hᴀ(C) = Hom(A, C)) 上 都是 單射，因此 Hᴀ 是 可信函子。

這個推理過程可逆，因此 反之亦然。

類似地，如果 對於 C 中的任意 兩個 不同態射 f, g: B → C, f ≠ g，都有 h: C → A 使得

hf ≠ hg

則 Hᴬ 一定是 可信函子，反之亦然。證明和上面的類似。

下一篇回答，小石頭將會介紹 範疇論 中的 最華彩 樂章——伴隨，盡請關注。