考研數學中，證明數列極限存在的其中一種常見方法是單調有界法。即要確定數列是否有界並且判斷數列是否單調。如果判斷出數列單調上升且有上界或判斷出數列單調遞減有下界均可以證明數列的極限存在。可以先證明數列有上(下)界然後證明數列的單調性；也可以先證明數列的單調性再證明數列存在上(下)界。注意對於某一個不分段的確定數列來講，它可能既存在著上界同時又存在著下界，但是它的單調性一旦存在，數列是遞增還是遞減是唯一可確定的。所以判斷出數列的單調性及數列的增減性至關重要。方法我認為基本如下:方法①:數學歸納法，進行遞推:自己預估數列是單增的還是單減的，如預估為單增可以先代入具體值得到X1＜X2,假設第n項時Xn即判斷Xn+1＞Xn(或Xn+1＜Xn)得到單調性；行不通時也可透過Xn+1/ Xn ＞1(或Xn+1 / Xn ＜1)得到單調性。方法②:第二種方法就是你將數列轉化為函式之後(用到海涅定理的思想)再對函式求導來判斷數列的單調性是否存在以及數列是遞增的還是遞減的這種方法。方法是這樣的:(李正元全書截圖。注意宇神18講上並沒有這個方法，所以19的研友們還是多留意下)這個其實可以利用拉格朗日中值定理來證明。有數列｛Xn｝，包含X1,X2...Xn...根據前面方法①的鋪墊，我們自然而然會想到利用“Xn －Xn-1”來判斷數列單調性，見到這個東西，相信聽過湯神或宇神課的朋友都能想到利用Lagrange對吧。這時有，f(Xn)－f(Xn-1)=f"(ξ)(Xn－Xn-1) (ξ在Xn-1和Xn之間)再由遞推式Xn+1=f(Xn),可將上面的等式寫作:Xn+1－Xn=f"(ξ)(Xn－Xn-1)可以想到，如果數列是單調的，那麼數列中後一項減前一項的和要麼永遠是大於0的(單增的情況)；要麼永遠是小於0的(單減的情況)。如果後一項減前一項有的單增有的單減，那麼這個數列它肯定不具有單調性。所以我們會發現，數列具有單調性時，它的後一項減前一項的值永遠是同號的(同正或同負)。那麼如何滿足Xn+1－Xn和Xn－Xn-1始終同號呢？很顯然要保證f"(ξ)是大於0的。你會發現，這樣並不能保證要判斷的數列一定是單調遞增的。而具體判斷遞增遞減很容易，既然一個數列的單調性存在，那這個數列是遞增還是遞減是客觀唯一的。所以說，可以求出數列前幾項(可以是前兩項)的數值，比較前幾項的數值大小，進而確定出數列的整體增減性。
考研數學中，證明數列極限存在的其中一種常見方法是單調有界法。即要確定數列是否有界並且判斷數列是否單調。如果判斷出數列單調上升且有上界或判斷出數列單調遞減有下界均可以證明數列的極限存在。可以先證明數列有上(下)界然後證明數列的單調性；也可以先證明數列的單調性再證明數列存在上(下)界。注意對於某一個不分段的確定數列來講，它可能既存在著上界同時又存在著下界，但是它的單調性一旦存在，數列是遞增還是遞減是唯一可確定的。所以判斷出數列的單調性及數列的增減性至關重要。方法我認為基本如下:方法①:數學歸納法，進行遞推:自己預估數列是單增的還是單減的，如預估為單增可以先代入具體值得到X1＜X2,假設第n項時Xn即判斷Xn+1＞Xn(或Xn+1＜Xn)得到單調性；行不通時也可透過Xn+1/ Xn ＞1(或Xn+1 / Xn ＜1)得到單調性。方法②:第二種方法就是你將數列轉化為函式之後(用到海涅定理的思想)再對函式求導來判斷數列的單調性是否存在以及數列是遞增的還是遞減的這種方法。方法是這樣的:(李正元全書截圖。注意宇神18講上並沒有這個方法，所以19的研友們還是多留意下)這個其實可以利用拉格朗日中值定理來證明。有數列｛Xn｝，包含X1,X2...Xn...根據前面方法①的鋪墊，我們自然而然會想到利用“Xn －Xn-1”來判斷數列單調性，見到這個東西，相信聽過湯神或宇神課的朋友都能想到利用Lagrange對吧。這時有，f(Xn)－f(Xn-1)=f"(ξ)(Xn－Xn-1) (ξ在Xn-1和Xn之間)再由遞推式Xn+1=f(Xn),可將上面的等式寫作:Xn+1－Xn=f"(ξ)(Xn－Xn-1)可以想到，如果數列是單調的，那麼數列中後一項減前一項的和要麼永遠是大於0的(單增的情況)；要麼永遠是小於0的(單減的情況)。如果後一項減前一項有的單增有的單減，那麼這個數列它肯定不具有單調性。所以我們會發現，數列具有單調性時，它的後一項減前一項的值永遠是同號的(同正或同負)。那麼如何滿足Xn+1－Xn和Xn－Xn-1始終同號呢？很顯然要保證f"(ξ)是大於0的。你會發現，這樣並不能保證要判斷的數列一定是單調遞增的。而具體判斷遞增遞減很容易，既然一個數列的單調性存在，那這個數列是遞增還是遞減是客觀唯一的。所以說，可以求出數列前幾項(可以是前兩項)的數值，比較前幾項的數值大小，進而確定出數列的整體增減性。