有。

設正n邊形的面積為s，

則，s=(1/2)nr^2*sinα=nr^2tan（α/2)

式中，n--邊數，r--三角形的外接圓的半徑，r--三角形的內切圓的半徑，α--一邊所對的圓心角（以度計）

證明也很簡單。

正n邊形可分割成n割等腰三角形，按上述引數計數三角形的面積加起來就是正n邊形的面積，當然有點技巧。

現證明如下。

(1)設正n邊形的邊長為ab,o為三角形外接圓心(內切圓與之同心）,

連線oa、ob,得一三角形aob，其面積為：s"aob

則，s"△aob=(1/2)*ab*rcos(α/2)

且，ab/2=rsin(α/2),即ab=2rsin(α/2)

故，s"△aob=(1/2)*2r^2sin(α/2)cos(α/2)

s"△aob=(1/2)r^2sinα

正n邊形的面積s=n*s△aob

故，s=(1/2)nr^2sinα

（2）再證以內切圓半徑r和圓心角α表示的正多邊形的面積s

證：因r是圓o的外切正多邊形的邊心距，也是△aob的ab上的高（r)

s""△aob=(1/2)*ab*r

此時，ab/2=rtan(α/2),故ab=2rtan(α/2)

s""△aob=(1/2)*2r^2tan(α/2)=r^2*tan(α/2)

故，正n邊形的面積s=n*s""△aob=nr^2*tan(α/2)

---全部證畢。