三門問題（Monty Hall problem）亦稱為蒙提霍爾問題、蒙特霍問題或蒙提霍爾悖論，大致出自美國的電視遊戲節目Let"s Make a Deal。問題名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門可贏得該汽車，另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人(主持人知道答案)開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機率？

這是一個很有趣的題目，對於沒有條件機率知識的人來說，很多人的第一想法是一半一半啊，雖然一開始是1/3，但是後來不是隻剩兩扇門了嗎，自然就是1/2了呀。

其實，這個題目不用機率知識來解釋也很好解釋，我們知道，一開始參賽者選擇中獎的機率是1/3，那麼不中獎的機率就是2/3，後面發生的事情就是主持人開啟一扇門後問他換還是不換？如果我們從另一個角度考慮問題：如果參賽者不換，則表示他堅持自己第一次選擇時正確的，那麼他的中獎機率還是1/3；如果參賽者換，那麼表示參賽者承認自己之前的選擇時錯誤的，那麼之前錯誤的（不中獎）機率是2/3，而剩下的門裡沒有車的門已經被排除了，所以換了後中獎的機率就是2/3。這樣就可以得到答案，換，而且換了以後，機率可以提升到2/3，而不是第一映像中的1/2。

那麼，我們怎麼用機率的知識來思考這個問題呢？

我們一般接觸到的實際問題都是先驗機率，很多事情都是相對獨立事件，即一件事的發生不會影響另一件事的機率；但是這個三門問題，卻是一道條件機率問題。即後發生的事件會對之前的事件產生影響，從而影響之前事件機率。

條件機率：事件A在另外一個事件B已經發生條件下的發生機率。條件機率表示為P（A|B），讀作“在B條件下A的機率”。若只有兩個事件A，B，那麼，

我們假定選擇其中一門中獎定為事件A，B，C，那麼我可以知道P(A)=P(B)=P(C)=1/3；

假定主持人開啟門定為事件a,b,c；

可以把題目改為這樣，參賽者選擇了A門，主持人打開了c,問此時，參賽者不換繼續選A且中獎的機率是多少，換，選B且中獎的機率是多少？用式子表示就是，求此時的P(A|c)和P(B|c)分別是多少？

根據條件機率公式我們有

P(A|c)=P(Ac)/P(c)=P(A)*P(c|A)/P(c)；

P(B|c)=P(Bc)/P(c)=P(B)*P(c|B)/P(c)。

P(A)=P(B)=P(C)=1/3,

當參賽者選擇A門且A中獎時，主持人開啟c的機率是1/2，所以P(c|A)=1/2；

當參賽者選擇A門且B中獎時，主持人開啟c的機率是1，所以P(c|B)=1；

當參賽者選擇A門且C中獎時，主持人開啟c的機率是0，所以P(c|C)=0。

那麼P(c)= P(A)*P(c|A)+ P(B)*P(c|B)+P(C)* P(c|C)=1/3*1/2+1/3*1+1/3*0=1/2。

所以

P(A|c)=P(A)*P(c|A)/P(c)=(1/3*1/2)/(1/2)=1/3，

P(B|c)=P(B)*P(c|B)/P(c)=(1/3*1)/(1/2)=2/3。

也就是說當主持人在開啟門c後，對於A來說，其本身的機率是沒變的，還是原來的1/3，改變的是事件B的機率，即P(B|c)是2/3。因此，此時參賽者應該換門，因為剩下的另一道門的機率變為了2/3，這樣獲獎機率變為了原來的兩倍。

現實中的知識就是這樣，很多時候和我們的直覺是不一樣的，而且差距還不小。因此需要我們不斷的鍛鍊自己的思維和數學能力，這樣才能在一些決斷中保持理性而科學的頭腦，不至於錯過大獎。