(1)如果集A中的元素，都是集B的元素，那麼稱A是B的子集。記做A(B（符號是∪橫過來的樣子，打不出來，暫以(代替）。 根據定義有A(A。 　　(2)另外我們定義不含任何元素的集合為空集，規定空集是任何集合的子集。空集記做φ。 　　(3)如果集合A(B，而B中確實存在不屬於A的元素，那麼稱A是B的真子集。 　　(4)如果A(B，且B(A，那麼A、B由相同的元素組成，此時稱A=B。 　　(5)由集A和集B的一切元素組成的集合，叫A和B的和集或並集。記做A∪B。 　　(6)所有既屬於集A又屬於集B的元素組成的集合，叫A和B的通集或交集。記做A∩B。 　　這兩個概念可以推廣到任意個集合進行並或者交的情形。 　　(7)若A∩B=φ，稱A、B不相交，否則稱A、B相交。 　　從以上概念定義可以推匯出集合運算的一些性質： 　　1. A∪A=A， A∩A=A 　　2. A∪φ=A， A∩φ=φ（φ類似於0，∪類似於加法運算，∩類似於乘法運算） 　　3. A∪B=B∪A， A∩B=B∩A （並、交的交換律） 　　4. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)， (A∩B)∩C=A∩(B∩C) （並、交的結合律） 　　5. (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) （分配律） 　　再來定義集合的“減法”： 　　(8)集合A中所有不屬於集合B的元素組成的集合，稱作集A減集B的差集，記做A-B。注意這裡並不要求B(A。 　　(9)如果B(A，則稱差集A-B為集B關於集A的餘集。記做C(A,B)。 　　(10)(A-B)∪(B-A)稱做A、B的對稱 差。記做A△B。實際上它就是那些只屬於A或只屬於B的元素組成的集合。 　　同樣從以上概念定義可以推匯出集合“減法”運算的一些性質： 　　6. 如果A(B，那麼A-B=φ 　　7. (A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C) （“減法”的分配律） 　　8. (C-A)-B=C-(A∪B) 　　9. A∪B = (A△B)∪(A∩B) 　　以上只是集合的一些基本概念定義。下面來定義集合的對映： 　　(11)設A、B是兩個非空集，如果存在一個規則ψ，使得對於A中的任何一個元素x，按照規則ψ，在B中有一個確定的元素y與之對應，那麼稱這個規則ψ是從A到B的對映。元素y稱做元素x（在對映ψ下）的象。記做y=ψ(x)。 　　(12)對任一個固定的y，稱適合關係y=ψ(x)的x全體為y（在對映ψ之下）的原象。集合A稱作對映ψ的定義域，ψ(A)稱作對映ψ的值域。注意ψ(A)不一定等於B，只能說它一定是B的子集。 　　(13)如果ψ(A)=B，那麼稱ψ是 A到B上的 對映，又稱為A到B的滿射。 　　特別地，如果A、B都是實數或複數集，那麼ψ就是我們高中時候學過的所謂函數了。所以函式不過是集合論中的一個特例罷了。 　　下面要講講一一對應（這些概念都跟函式中概念類似）。 　　(14)設ψ是 A到B中的 對映，若對每一個屬於ψ(A)值域的y，A中只有一個元素x滿足ψ(x)=y，那麼稱ψ是可逆對映或一對一的對映，或單射。 　　換句話說，對A中任意兩個元素x1，x2，當x1不等於x2時，必然有ψ(x1)不等於ψ(x2)，那麼ψ就是 A到B的 可逆對映。 　　(15)設ψ是 集A到集B上的 可逆對映，那麼稱ψ為A到B的一一對應或雙射。 　　也就是，如果ψ是A到B的一一對應，意味著對於A中任何一個元素a，有唯一的b=ψ(a)，且對B中的每一個元素b，必在A中有唯一的元素a，適合ψ(a)=b。 　　這裡尤其要注意“A到B中的(或A到B的)可逆對映”跟“A到B上的可逆對映”的區別。否則容易將可逆對映跟一一對應搞混。相信高中時候專心記筆記的人還有印象吧，因為講函式的時候，這個中跟上的區別仍然會強調的。 　　例如，假設ψ是A到B中的可逆對映，那麼或許在B中還存在某個元素y，它是無法由ψ來從A中任何一個元素對應過來的。但如果ψ是A到B上的一一對應，那麼這樣的y是不存在的。 　　對等的概念。 　　(16)設A、B是兩個集，如果存在一個A到B的一一對應，那麼稱集A與集B對等（或相似），記為A～B，規定空集跟自身對等。 　　接下來，集合的勢的概念快要出來了。而對等的概念是我們建立勢的理論從而對集合進行比較的基礎。 　　例如，正偶數集合和自然數集，ψ:n->2n，即可使得兩集合之間建立一一對應，因此他們是對等的。 　　顯然，對等具有以下性質： 　　10. A～A，對等的自反性 　　11. 若A～B，那麼B～A，對等的對稱性 　　12. 若A～B，B～C，則A～C，對等的傳遞性 　　剛才已經強調過，若ψ是A到B中的可逆對映，ψ未必是A到B的一一對應。但我們知道ψ實現了A到值域ψ(A)的一一對應。因此A與B的子集ψ(A)對等。 　　如果A與B的子集對等，而B又與A的子集對等，那麼可以證明A、B是對等的。這個定理叫伯恩斯坦(Bernstein)定理。 　　好了，前面這些概念和定理都是在做鋪墊，現在我們要正式開始進行集合個數的比較了。 　　集論最初的一個基本課題就是研究元素個數有多少的問題，我們稱之為集的勢論。 　　關於事物的多或少是很普通的概念，例如，問：某班學生人數與教室的凳子數哪個多？最笨但也最顯然的方法是規定每個學生都去坐在凳子上，而且一個學生只能坐一張凳子。最後，如果有學生沒坐到凳子，那麼便是學生多。如果最後有凳子空著，那麼便是凳子多。 　　所以，類比上面這樣的方法，我們引入以下這個定義： 　　設A、B是兩個集。 　　(1)如果A和B對等，那麼稱A和B具有相同的勢（或基數）。記集A的勢為P(A)（其實正確的寫法是A上面兩橫，因為無法打出這樣的符號，就以P(A)代替，不影響討論）。A和B具有相同的勢時，記為P(A)=P(B)。 　　(2)如果A對等於B的某個子集B1，那麼稱A的勢小於或等於B的勢，記為P(A)

首先，我們要搞清楚 什麼是：“無理數數比有理數數多”。

為了方便，數學上將有理數集記為 Q，將實數集記為 R。從實數中除去有理數 剩下的就是 無理數，因此 無理數記為 R\Q，其中 \ 表示 差集，即，從 R 除去 Q 中元素的 意思：

同時，用 |X| 表示 集合 X 中元素個數，例如 若 X = {Tom, and, Jerry}，則 |X| = 3。這樣以來，題目中：“無理數比有理數多”，可被表述為：

|R\Q| > |Q| ①

可是，我們知道：有理數 和 無理數 的個數都是 無窮多個，即，|Q| = |R\Q| = ∞，那麼問題來了：對於兩個 無窮大又如何比較大小呢？也就是說，如何 使得 ① 對於無窮集合有意義？

這個問題，最早尤拉大神就研究過，為此不惜規定自然數之和為 -1/12，但依然並沒有找到規律。後來是 康托爾（Cantor）找到了解決問題的金鑰匙——對映。

對映，記為 f: X → Y ，它描述 從 集合 X 到 集合 Y 的一種關係，即，

對於 X 中的每個元素 x 在 Y 中 有且只有一個 元素 y = f(x) 與之對應。②

康托爾 透過 對 對映關係的細分，來對 ① 進行定義：

單的：X 中的不同元素 在 Y 中 對應不同元素；

這說明，在統計 X 中元素個數的過程中， X 中 每數一個元素 x 都會有 Y 中有 x 對應的元素 y 跟著計數，而且 根據 單的 定義， 不會發生 同一個 y 計數 兩次的情況，於是，我們認為： X 的元素個數 不會大於 Y 的元素個數，即，|X| ≤ |Y|；

滿的：Y 中的每個元素 都有 X 中的 至少一個 元素與之對應；

這說明，在統計 Y 中元素個數的過程中，Y 中 每數一個元素 y 都會 有 X 中的 y 對應的 至少 一個 元素 x 跟著計數，而且 根據 ②，不會發生 同一個 x 計數 兩次的情況，於是，我們認為： Y 的元素個數 不會大於 X 的元素個數，即，|X| ≥ |Y|；

雙的：既是 單的 又是 滿的；

這時 X 和 Y 中的 元素 一一對應，因為 |X| ≤ |Y| 並且 |X| ≥ |Y| 所以 |X| = |Y|。

注：高中數學課本上，分別稱 單的、滿的、雙的 對映 為，單射、滿射、雙射。

因為對映對於 有限集合 和 無限集合 同時有效，於是，用對映給出的 ① 的定義，對於 有限集合和無限集合 同時有效，這樣就繞開 比較無窮集合大小的的糾結。

有了 對映這個利器後，雖然 Q 和 R\Q 是 無窮集合，但是 只要 找到 它們 之間 的對映，就可以 根據 對映關係的 細分 來判斷 它們 之間的大小關係了。

然後，利用自然數集作為標尺來證明。

所有自然數（包括 0）組成的集合 記為 ω。對於任意集合 X，若 |X| ≤ |ω| 則稱 X 可數，否則，即 |X| > |ω| 則稱 X 不可數。

集合 X 可數就意味著，存在 雙射 f: N → X，使得 X 中元素 和 自然數 的 全體 或 部分 N = {0, 1, 2, ..., n, ...} 一一對應 f: N → X ，於是就 可以 以 N 中自然數為下標 將 X 的元素排成一列：

稱 X 可列。反之亦然。這說明，X 可列 必然 X 可數，X 可數 必然 X 可列。

先證明了 Q 可數：

任何 正有理數數 都可 表示為 兩個正整數 的比值，因此我們可以建立下表：

於是可以建立 自然數集 ω 和 有理數集 Q 之間的一一對應關係：

這就證明了 |Q| = |ω|，即，Q 可數。

再證明 無理數 R\Q 不可數：

考慮 (0, 1) 之間的 無理數，將它們寫成無限不迴圈小數。假設 它們 可數，則可列，於是將它們排成一豎列如下：

接著我們將構造一個 新的無理數：

構造過程如下：

如果 a₀ 的第1位小數 a₀₁ ≠ 6 則 b 的第1位小數取 b₁ = 6，否則取 b₁ = 9；

接著，沿著豎列向下，找到 無理數 aᵢ₁，滿足，它的第1位小數 aᵢ₁₁ = b₁。如果 aᵢ₁ 的第2位小數 aᵢ₁₂ ≠ 6 則 b 的第2位小數取 b₂ = 6，否則取 b₂ = 9；

接著，沿著豎列向下，找到 無理數 aᵢ₂，滿足，它的第2位小數 aᵢ₁₂ = b₂。如果 aᵢ₂ 的第3位小數取 aᵢ₁₃ ≠ 6 則 b 的第3位小數取 b₃ = 6，否則取 b₃ = 9；

...

這樣我們就得到了一個新的 無理數 b，根據構造過程 b 不等於 豎列 中的任何無理數，這和 豎列 包含所有 (0, 1) 之間的所有無理數 矛盾。

這就證明了 (0, 1) 之間的無理數不可列，進而 全體有理數 R\Q 也不可列，於是 R\Q 不可能 和 ω 一一對應 ，即，|R\Q| ≠ |ω|。

而很容構造對映 f : ω → R\Q，如下：

f(n) = n + √2

顯然 f 是單的，於是有：

|ω| ≤ |R\Q|

上面已經證明了 |R\Q| ≠ |ω|，於是得到

|R\Q| > |ω|

即，R\Q 不可數。

綜合，由上面的證明結果：

|Q| = |ω|，Q 可數；

|R\Q| > |ω| ，R\Q 不可數；

得到：

|R\Q| > |Q|

即，無理數比有理數多。

最後，實際上無理數比有理數多的多。

可以這樣想象（並非證明）：

設，袋子裡有十個球，分別標記有 0 到 9 十個數字。每次隨機的取一個球，記錄球上的數字，然後將球放回；用這個記錄的數字 作為 (0, 1) 之間小數的一個小數位。

如果，要使得這個小數是有理數，則必須 從 某次取球之後，每次都取到 0 號球（或按照某些固定迴圈 取球），因為要無限的取下去，所有這種事件的發生機率，為 0，其逆事件，即，小數是無理數，的發生機率是 1。

由此可見，透過取球生產的 (0, 1) 之間小數，該小數是 無理數 是必然事件（機率 P = 1），該小數是 有理數 是 不可能事件（機率 P = 0）。這就說明 無理數比有理數多的多。

注：對於有無窮個樣本點的樣本空間，不可能事件 也會發生。

事實上，在《測度論》中，有理數集 Q 就是 零測集，不過這個就扯遠了，這裡打住。

能證明無理數的數量多於有理數，但沒有什麼簡單的證明，因數學本身就不簡單。

無理數、有理數都是無窮多個，為什麼無理數數量會多於有理數呢？一個無窮多比另一個無窮多是什麼意思？這個還是可以簡單地、粗略地，不嚴密地說明一下的。

有理數就是分數，分數是“可數”的，不是可以數得過來的意思，是可以用一定的規律表達出來的意思。比如0和1之間的有理數可以按下圖這個方式一一表示出來。

既然“可數”就好辦了，那挨個發號，第一個分數1號，第二個呢2號，以此類推把所有分數都編上號。形成一個可數的無窮集合。

所有可數的無窮集合中的元素都是一樣多的，整數、偶數、有理數他們統統和自然數一樣多，因為他們每個數都可以對應一個自然數（編號）。

把1號到最後一號的分數都加上一個無理數，比如根號二，那麼得到一個無理數可數無窮集合，集合元素數量和有理數集合元素是一樣多。換個無理數，比如根號三，再重複上述工作，又得到一個無理數集合，元素數量還是和有理數集合元素數量一樣多。不斷地更換無理數，得到無窮多個無理數集合，顯然無理數比有理數多得多。

這麼說還有點疑問，如果把所有無理數都“數”出來，也挨個編上號，照上面的邏輯來唄！

無理數能“數”出來麼？無理數是無限不迴圈小數，小數點後面數字隨便瞎編就是無理數，誰能找到瞎編的規律呢，所以不能用一個有規律的方式“數”出無理數來。

所以無理數集合是個不可數的無窮集合。

無理數不單比有理數“多”，而且“多得多”！

因為有理數是有規律的，就是小數點後面的數字是按照某種規律迴圈的。比如1/3就是0.3333333……（迴圈3）；6/7就是0.857142857142……（迴圈85714）。十進位制一共就十個數字，我們在這十個數字裡面隨機挑選一個放在小數點後第一位，再從十個數字隨機挑選放在第二位，以此類推，挑出一個無限迴圈小數的可能性有多大呢？一點可能性也沒有！

就是說如果隨機組合數字得到一個數，那麼一定是無理數。有理走遍天下，但走遍天下也整不出個有理數來。

錯了，無理數和有理數數量都是無窮大，無法比較。沒有多少的概念。

定理：任何兩個無限數列 不能完成一一對映。

數學邏輯方法證：

雙射定義（一一對映）數學式：集合A={a1，a2，a3，...,an}；B集合={b1，b2，b3，...,bm}；當ai/bi=f時，得n=m時，即n/m=1；m/n=1。得1=1，簡稱“一一對應”。

數列A：a1，a2，a3，...,an

數列B：b1，b2，b3，...,bm

注意上面的n、m 還是數。

當 n→∞和m→∞ 時，兩個數列變了，變為：

數列：A’：a1，a2，a3， ...

數列：B’：b1，b2，b3， ...

得： 元素n→∞和m→∞時，得此時的n、m不屬於數。

既上面兩個無限數列的勢為無限元素，無限元素不是數。

得非數的n→∞和m→∞沒數學關係，既：“n→∞”≠“m→∞”

所以 數列A’與數列B’ 不能完成 一一對應。

證畢！

>

上面用反證法 證明了 兩個無限數列不能 “一一對映”。

那麼到底是什麼原因會使康託的理論出現矛盾呢？

邏輯分析：

“一一對映”又叫“雙射”，是單射+滿射。

所謂滿射 就包一個重要邏輯：從第一個單射到 最後一個。==== 才算滿。

無限數列，有第一個，但後面屬無窮無盡，就根本沒有“最後一個”。

由無沒有“最後一個”所以永遠不會“滿”。

故 ，無限數列 永遠完不成“一一對映”。

又有人會說了，我不要滿。我只是一一對應。

能一一對應，就是一一對映（其實包含了滿），

退一萬步，一一對應就是兩個無窮（無限）數列進行對比。

兩個無窮數列能比對嗎？

比對就是用數學＝、＜、＞，

如等勢就是 a的勢=b的勢

強勢就是 a的勢＞b的勢

厚勢就是 a的勢＞b的勢

上面就是數學王國的事了。

凡能進入＝、＜、＞必須是數，非數不能進入＝、＜、＞之中。

無限元素是數嗎？數的定義是什麼？

數的定義：所有“有限元素”。==== http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_6aa947af0102x95y.html?vt=4

得： 無限元素不是數。

所以無限數列不是數，它的勢也是無限元素，所以勢不是數。

勢就是非數。

非數不能進入數學王國，非數不能進入＝、＜、＞之中。

所以 非數的勢不能與任何元素進行比對。

康託的無限集的勢用 No 表示。

得：No≠No ；No≠任何元素；No任何元素；No任何元素；

這就解釋了為什麼 康託無窮理論會出現矛盾和悖論了。

人類數千年都定義不了數，才導致“實無窮”與“潛無窮”爭議了數千年。

為什麼兩個無限數列”一一對應“無意義？

一一對應，僅僅是指元素的個數，與元素的質無關。

1地球元素與1個原子元素，在集合"一一對應"關係是平等的。

所以，所有無窮數列：a1,a2,a3,....可簡化為 1,2,3,4,....

同理：2,3,5,7,11,...可簡化為 1,2,3,4,....

得：所有無限數列的一一對應就是 1,2,3,4,....與1,2,3,4,....的關係。

又無限元素 1,2,3,4,....不是數，

所以 1,2,3,4,....≠1,2,3,4,....

所以 1,2,3,4,....≮1,2,3,4,....

所以 1,2,3,4,....≯1,2,3,4,....

所以 1,2,3,4,....≠a

所以 1,2,3,4,....≮a

所以 1,2,3,4,....≯a

既 無限元素永遠沒數學關係，不永不能與任何元素髮生數學關係。

引用自科普：破解康託無限數列“一一對映”之謬論