目前我們所學的數學體系相對比較完備，說明三次數學危機都基本解決。為了使讀者更清晰的瞭解這個問題，下面談一談三次數學危機都是什麼？並如何解決的？

第一次數學危機

早在古希臘時期，數學家畢達格拉斯認為，宇宙的一切都是數，而且是整數。當然，這裡很多小朋友會誤會，畢達哥拉斯所說的數，包括整數和整數的比，用我們今天的話來翻譯，宇宙的一切都是由有理陣列成。

後來他的學生希帕索斯，提出問題，邊長為一的正方形的對角線如何用兩個整數的比表示出來？這衝擊了當時的希臘數學整個體系，你當時的數學家深感不安，這就是第一次數學危機。

有一個說法，希帕索斯不僅提出這個問題，同時也給出過證明，徹徹底底推翻了比達格拉斯的理論，所以希帕索斯才慘遭毒手。至於是不是這樣的就不得而知了。

第一次數學危機的解決表明，幾何量不能完全用整數表示，反之，任何數卻可以有幾何量表示出來。直到人們認識了無理數，認識了實數系，第一次數學危機，算是徹底解決。也是這一次危機促成了公理幾何與邏輯的誕生。

第二次數學危機

第二次數學危機於牛頓時代，此時已經誕生了微積分，就是牛頓-萊布尼茨站在巨人的肩膀上，開創了基於微積分的數學新時代！

這次危機的關鍵問題是無窮小量究竟是不是零？兩種答案都會產生矛盾，如果無窮小量是零，那麼憑什麼他當分母？如果無窮小量不是零，那麼，憑什麼在計算中忽略它的存在。

第二次數學危機的解決，是著名數學家柯西引入了極限的概念，認為無窮小量和無窮大量都是變數，只不過無窮小量的極限是零而已。

在此基礎上重新定義了微分和積分，也就是現在我們所學的微積分都是嚴格的，建立在極限的基礎之上，無論是高中還是大學課本都是先引入極限的概念，在此基礎上，繼續學習微積分。這次數學危機促成了分析基礎理論的完善。

第三次數學危機

所有的高中課本的第一節都是集合，而高中教材都會用一頁紙的地方介紹集合論的創立人康托爾，康托爾的集合論也成為現代數學的基石，著名數學家龐加萊曾說過：藉助集合論，我們可以建造整個數學大廈。這是對集合論最高的讚美。

眾所周知，集合有三要素：“確定性，無序性，互異性”，這麼簡潔美麗的體系即將迎來前所未有的挑戰！

幾十年後，羅素悖論產生，提出者當然是羅素。他指出：如果一個理髮師只給不自己理髮的人理髮。那麼他應該給自己理髮嗎？細心的人發現，這個理髮師怎麼做都不對，並且又符合集合的定義，這個悖論嚴重挑戰了集合中的“確定性”！

用集合的語言來說：如果存在一個集合A={x | x∉x }，那麼A∈A是否成立？如果它成立，那麼A∈A，不滿足A的特徵性質。如果它不成立，A就滿足了特徵性質。

後來，德國數學家策梅羅，尋找到一種解決辦法，把集合論建立在一組公理之上，目的是迴避悖論。後來透過一系列數學家的完善，形成了一個集合論的公理系統，在這個系統之內沒有悖論。這套系統也叫做“ZF公理系統”

到此第三次數學危機基本緩和下來。

當然，也有這樣的說法，認為第三次數學危機表面上解決了，其實不是解決了，是迴避了悖論，然而，數學的確定性卻逐漸消失，實質上，第三次數學危機以更深刻的形式在延續著，至今沒有解決。

在數學的發展過程中，出現了三次大的危機，前兩次危機的解決都極大的推動了社會的變革和發展。

第一次是無理數的發現，在此之前的人們只是很簡單的把數字分成了整數和分數，但是這個時候有人發現了一個問題。那就是一個直角邊都是1的斜邊無法用一個具體的數字來表示。也就是我們最早知道的幾個無理數之一的根號2。

在畢達哥拉斯之前的古希臘哲學中，整數代表了自然的和諧整潔之美。根2的出現無疑讓自然的潔簡之美破碎了。古人開始研究起了無理數，不再侷限於整數的桎梏。對無理數的研究也讓人類第一次思考無窮的概念。 比如一條線段無限分，總有一段是無理數式的長度。

在此期間，芝諾還提出來四大悖論，簡稱芝諾悖論。其中以芝諾的烏龜尤為著名。你不可能追上一隻烏龜，即便你是博爾特也不行。因為你在追烏龜的時候總是要先追上烏龜行進路程的一半，當你追上這一半時，烏龜又前進了一部分，你又得追上新路程的一半，至此你將陷入到烏龜路程一半的漩渦中無法逃脫。

對無理數和無窮概念的研究和拓展成功的化解了第一次數學危機，人類開始探究新的數學領域，從而推動了很多科學的發展。比如機器學和建築學就是在這之後開始迅速的發展起來，正是在這樣的背景下便出現了以蒸汽機為代表的的一系列的機器發明，從此人類進入了工業化的蒸汽時代。

十七、十八世紀關於微積分發生的激烈的爭論，被稱為第二次數學危機。從歷史或邏輯的觀點來看，它的發生也帶有必然性。危機就是微積分定義的完善，這個問題其實也就是極限的問題。中國最早的關於極限問題的記載是老子的一段話：一尺之錘，日取其半，萬世不竭。這種說法已經出現了最早的極限的思想，但是沒有進一步的思考，每次取出來之後的相加在一起是多少。

微積分的基礎思想就是無限細分再整合。微積分中總是出現無限逼近的概念。比如無限小和0的區別，當時的人們在某種情況下直接將無限小當做0來使用，但卻不知其中蘊涵的數學意義。

　 經過許多人多年的努力，終於在17世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科。牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者，他們的功績主要在於：把各種有關問題的解法統一成微分法和積分法；有明確的計算步驟；微分法和積分法互為逆運算。由於運算的完整性和應用的廣泛性，微積分成為當時解決問題的重要工具。同時，關於微積分基礎的問題也越來越嚴重。關鍵問題就是無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成了第二次數學危機。

　 19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康託等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上。同時，魏爾斯特拉斯給出一個處處不可微的連續函式的例子。這個發現以及後來許多病態函式的例子，充分說明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的概念及推理。由此，第二次數學危機使數學更深入地探討數學分析的基礎——實數論的問題。這不僅導致集合論的誕生，並且由此把數學分析的無矛盾性問題歸結為實數論的無矛盾性問題，而這正是二十世紀數學基礎中的首要問題。　

這個問題在當時困擾了很多的數學家，而在這個問題解決之後引發的社會進步就是影響到我們現在電氣革命，現在很多的行業都是使用這些極限的計算。比如說航空中就會使用到這種計算。有了這種計算的方式之後，人類的進步可以參考我們生活的狀況就知道了。

第三次數學危機是人們對集合論的懷疑，起始於1897福爾蒂發現的集合論悖論，再到康託發現第二個悖論，直到羅素提出了“羅素悖論”，才將對集合論的質疑發展到了極致。也以羅素悖論最為出名。在羅素悖論中，一個牛逼哄哄的理髮師在門店前寫了一句廣告詞：“自己技術精湛，會給所有不能給自己理髮的人理髮，滿足各種挑剔的需求，大家都來我這理髮吧！”。那麼問題來了，這個理髮師會給自己理髮嗎？如果理了，那麼就不是宣傳的那樣：只給不能給自己理髮的人理髮了。如果理髮師不給自己理髮，那麼他又違背了廣告詞：只給不能自己理髮的人理髮。

很多人說羅素悖論只是對集合定義的一種詭辯而已。可是到現在都沒有人能完美解決這一所謂的詭辯。羅素悖論更像是哲學的本體論，從而劃分出來了唯心和唯物主義。我們從本體論的角度側面解讀一下羅素悖論。如果我是主觀唯心主義，我說世界只是我的表象，大千世界只是我意識幻想出來供我享樂的“虛假場所”。那麼問題來了，“我”的概念也是意識幻想出來的假象嗎？如果是，那麼“我對“我”的概念質疑的思想”也是意識幻想出來的嗎？ 如果還是，那麼“我對“我疑我的思想”的質疑”也是意識幻想的了......如果還是，那麼我的意識主動性還存在嗎？意識本體在哪裡？難不成我的前一秒意識幻想出我的後一秒意識嗎？好像我一思考自己的意識，意識本體就在自動後退，從而完美規避了我的意識被自己意識。 那麼你的意識到底是什麼，它還存在嗎？如果你的意識存在，請你解釋剛才的矛盾。如果你的意識不存在，那麼世界就不是你宣稱的唯心主義了，這不和你起初自稱唯心的口號矛盾了。

羅素悖論，就很像這個問題，總是首先把自己置身事外，而換個角度看自己又處於事物之中。 那麼自己到底在事物之中還是事物之外呢？

這個時候我們會發現，在作出選擇的時候，結果就已經註定會產生矛盾。但是如果存在既給自己理髮又不給自己理髮的狀態，那麼這個問題是否就解決了吶？這個問題就已經開始涉及到一些現在物理學中研究的前沿的量子存在問題。有人說第三次數學危機若解決，人類將邁向神級文明，掌握時間，控制生死。

我們會發現，每一次的數學危機都是在在一些最基礎的定義上面。在集合的定義上未來的一個解決方案就是使用四維空間的定義方式，提出一種新的數的存在形式，就像最初只有正數一樣後來提出了負數。一旦這次的危機解決就會在四維空間的計算和運用中取得巨大的成就，因為數學作為一種最基礎的學科它的進步和突破都是革命性的。到時候人類很有可能就會參悟時間的真理，掌握生死的奧秘，人類將會逐步走向大神級別的文明，甚至還會研究出二向箔。

克萊因說：“有一句古老的忠告說：當心您的朋友，您的敵人自會留意。在科學活動中，這句話的意思就是：懷疑明顯的東西，這樣您將能清除科學真理中那些含混不清的內容。任何能對明顯的東西進行挑戰的人，必定是十分勇敢的英雄，因為人們會認為這種挑戰是瘋狂的行為。”