最簡單最快速的方法是利用歐氏空間的一個定理：如果空間的維數為n，則空間內任意n個線性無關的向量可以做該空間的基底。矩陣的行秩等於列秩。

來看這道題：首先初等行變換矩陣變為階梯型，發現該矩陣的秩為3。那麼，這個矩陣中任意三個線性無關的行向量就是該矩陣行空間的基底，這個矩陣只有3個行向量，那這三個行向量就是基底。

然後看列空間，第一列與第四列明顯線性無關。記這兩條列向量為a1,a4，為了驗證a2,a3中哪條向量與這兩條線性無關，做出假設，a2與a1,a4線性相關，則存在數x,y,使得xa2+ya3=a2。得到x+y=3,2x+2y=1,3x+6y=4，光看前兩個式子就知道這樣的x,y不存在。所以a1,a2,a4線性無關，所以a1,a2,a4就是列空間的基底。

這個方法是極為快速簡潔的方法，總比換底公式快的多的多。

零空間的基實際上笨法子就是最好的辦法：初等行變換得如下矩陣

1 3 -2 1

0 -5 7 0

0 0 16 4

令x4=1,解得x3=-1/4,x2=-7/20,x1=-9/20

(-9/20 -7/20 -1/4 1)就是零空間的基底。實際上求零解空間的基底就是求Ax=0的基礎解系。