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  • 1 # 使用者6846090107206

    從幾何意義上講,在給定線段AC上黃金均值可以這樣構成,在AC上取一點B,使

    則|AB|為黃金均值,也以黃金分割、黃金比以及黃金比例等著稱.

    一條線段一旦分割出黃金均值,那麼黃金矩形也就很容易透過以下步驟作出:

    1)給定任一線段AC,用B點將線段AC分割出一個黃金均值段,作正方形ABED.

    2)作CF⊥AC.

    3)延長射線DE,使得線DE與CF交於F點.

    則ADFC是一個黃金矩形.

    黃金矩形也可以不用已有的黃金均值段作出,如下圖所示:

    1)作任意正方形ABCD.

    2)用線段MN將正方形平分為兩半.

    3)用圓規,以N為中心,以|CN|為半徑作弧.

    4)延長射線AB直至與以上的弧相交於E點.

    5)延長射線DC.

    6)作線段EF⊥AE,並令射線DC與EF交於F點.

    則ADFE為一黃金矩形.

    黃金矩形還能自我產生:從下面的黃金矩形ABCD出發,很容易透過畫正方形ABEF的方法得到黃金矩形ECDF.再透過畫正方形ECGH,容易構成黃金矩形DGHF.這樣的過程可以無限地繼續下去.

    用最後得到的無窮多個緊挨著的黃金矩形,可以作出另一種型別的等角螺線(也稱對數螺線).如下圖用圓規在一系列黃金矩形中的各個正方形裡,畫四分之一圓弧.這些弧便形成等角螺線的輪廓.

    註釋

    由黃金矩形陸續產生其他的黃金矩形,這樣便畫出了等角螺線的輪廓.圖中的對角線交點為該螺線的極點或中心.

    令O為螺線的中心.

    螺線的極半徑是指以中心O和螺線上任意點為端點的線段.

    注意螺線上的每一個點的切線與該點的極半徑都形成一個角∠T1P1O.如果對於每一個這樣的角都相等,則該螺線為等角螺線.

    等角螺線也稱對數螺線,因為它以幾何比率(也就是某數的方冪)增長,而方冪的指數則是對數的另一種名稱.

    等角螺線是僅有的這樣一種型別的螺線,這種螺線當它增大時不改變自己的形狀.

    在實際生活中有許多裝點的形式——正方形、六角形、圓、三角形等等.黃金矩形和等角螺線是其中最令人心曠神怡的兩種.兩者的形跡可見於海星、貝殼、菊石、鸚鵡螺、序狀種子的排列、松果、菠蘿、甚至於一個蛋的形狀.

    同樣令人感興趣的是黃金比與斐波那契數列的聯絡.斐波那契數列——(1,1,2,3,5,8,13,…,[Fn-1+Fn-2],…)——相繼項

    除了出現在藝術、建築和自然界外,今天黃金矩形還在廣告和商業等方面派上用場.許多包裝採用黃金矩形的形狀,能夠更加迎合公眾的審美觀點.例如標準的信用卡就近似於一個黃金矩形.

    黃金矩形還跟許多其他的數學觀念相聯絡.諸如無窮數列、代數、圓內接正十邊形、柏拉圖體、等角螺線、極限、黃金三角形和五角星形等等.

    參考資料:http://ced.xxjy.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1059/5146_SR.HTM

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