答：複數的本質是：不同於一維實數的二維數域。

而且複數是完備的數域，對基本運算完備。

比如整數對加減乘完備，但是對除法不完備，因為兩個整數相除，會得到分數。

同樣實數對加減乘除完備，但是對指數運算不完備，尤其是指數為分數時，就會跳出實數域，說明我們的實數不完備。

在這樣的背景下，虛數從卡爾丹公式中孕育而生，成為了實數的擴充——複數。

而複數就是完備的，對我們目前所有的運算都是完備的，無論你做任何運算得到的值都在複數域內。

當然，除了二維複數之外，還有四元數，八元數，但是都用不到，所以複數之後，就目前而言沒有必要擴充了。

好啦！我的回答就到這裡！

世上本沒有意義，用的人多了自然就有意義了。

複數最直觀的理解就是旋轉！ 4*i*i = -4 就是“4”在數軸上旋轉了180度。 那麼4*i就是旋轉了90度。

讓高維物件參與運算，並擁有像實數那樣好的性質，曾經是很多數學家的夢想。因為高維物件能夠帶著幾何資訊參與運算，用實數表示的座標來計算會丟失幾何資訊。

至於意義，應該是幾何意義的延伸吧。有了一個好的數學工具，用上了自然就有意義了。

複數是指能寫成如下形式的數a+bi,這裡a和b是實數，i是虛數單位（即-1開根）。想理解複數的本質的從為什麼出現複數談起：

所有的數的誕生都是和人們生產生活需要分不開的，複數也不例外。數的分類見下圖

當人類在實數範圍內不能解決所有問題的時候，就只能超越實數範圍去尋找答案，複數就誕生了。

例：把8分成兩部分，使它們的乘積等於20時。

這個問題在實數範圍內就是個無解的答案。但是要在複數範圍內就可以把8分成這兩個部分：

4+√-2和4-√-2兩個部分，（4+√-2）+（4-√-2）=8 （4+√-2）×（4-√-2）=20。

同理√-2在實數範圍內也沒有意義，那麼就誕生了虛數：i² = - 1 那麼√-2=-2i。

複數的實際意義：首先，我們建立一複數座標，橫軸單位為實數1,縱軸單位為虛數i。(1+i)×i的意義是什麼呢？如下圖:(1+i)×i=-1+i 從下圖可見×i的實際意義就是把一根直線，逆時針旋轉九十度，但是長度不變（乘以其他複數還可以使長度改變）。

複數不是用來描述我們的現有世界的，是用來描述未知世界的。

實數可以描述我們日常生活中遇到的事物，例如時間，下午1點、下午2點，但是日常生活中沒有用虛數表示時間的，比如下午i點是什麼時候？下午2i點是什麼時候？

但是理論上這樣的時間在整個宇宙中還是真有可能出現的。例如你站在地面上觀察一個相對於你以速度v運動的人，你現在的時間t0是下午1點，根據相對論時間公式t=t0√(1-v²/c²)，其中c是光速，如果他相對於你運動的速度v達到光速的√2倍，那麼在你看來他的時間就是i乘以你的時間，也就是你現在是下午1點鐘的話你會覺得他的時間變成了下午i點鐘，如果他從下午1點運動到下午兩點，你會覺得他運動了整整i個小時，如果用ΔS=v×Δt計算他走過的距離的話你會發現他走過的距離中也出現了虛數，那麼虛數的距離又代表什麼？

有趣的話題來了，或許在我們這個三維世界中很難理解走了i米是走哪去了，但是你可以類比一下，假如有一個一維世界的人，正常情況下他只能沿著x軸左右運動，但是突然他的運動速度超過了光速，相對於他原來的位置走了i米，那不就是沿y軸的方向運動了嗎？也就是他超越了他本身所在世界的維度，進入了一個他從來看不見也無法想象的維度，他以前一維世界的小夥伴發現他不見了，儘管他可能離他的小夥伴只有一個虛數單位i米而已，他到了另外一個一維世界，在這個世界中如果他把速度降到光速以下就又會回到沿實數軸x運動的狀態，但是跟他以前生活的世界在二維上平行。

以此我們不妨類推一下我們生活的三維世界，如果你的運動速度真有可能超過光速，那你真有可能會有機會沿第四維方向運動，這個方向你平時從來沒有看到過，也從來沒有想象到這個方向在哪。最終當你的運動速度降到光速以下時你可能會到達一個跟我們這個三維空間在第四維上平行的空間，但是在這裡已經再也沒有你認識的小夥伴了，除非你再一次沿著你剛才運動的方向反向運動，並且要以完全相同的速度運動完全相同的時間才有可能回到原來的三維空間，是不是很神奇

複數就是旋轉。舉個例子，我們知道一個旋轉運動的物體動能等於MV²/2。那這個是物體全部的能量嗎？當然不是，應該加上物體的角動量mr²w 。那麼角動量對動量有沒有影響呢，實際上是有正影響也可能負影響。這樣看動量是實數部分，角動量是虛數部分。跟複數一樣，從動量看角動量很不好理解。

一個負數的平方根。這就是虛數，一個實數和一個虛數在一起的表達就叫複數，一個根本不存在的數，只適用於運算的過程。

（小石頭來嘗試著回答這個問題）

複數出現的原因，大家都知道，是為了讓方程：

有解。

為了達成這個目的，我們需要尋找一個新的數字 i，使得 i² = -1 ①，並且 i 還可以參與四則運算（加、減、乘、除）。

顯然，這個 i 不是一維直線（記為 ℝ）中的任意實數，於是 將眼光 投入 二維平面（記為 ℝ²）中的某個向量 a = (x, y)。

為了讓 a 看起來像是一個數字，從而可以作為 i 的候選者，我們需要讓 向量 具有類似數字的四則運算的能力。

在《解析幾何》中，已經定義有向量的加法（設，b =(u, v) ∈ ℝ²），

a + b = (x + u, y + v)

然後，利用 向量的數乘（設，λ ∈ ℝ)，

λa = (λx, λy)

可以定義 a 的負數，

-a = (-1)a

而減正就是加負，

a - b = a + (-b)

關於向量的乘法，在《解析幾何》中 定義有，

點乘（內積）：a⋅b = xu + yv叉乘（外積）：a×b = (xv - uy) k （k 是 垂直於 平面 ℝ² 的 單位法向量）

觀察 實數 ℝ 中的乘法，有 a,b ∈ ℝ ⇒ ab ∈ ℝ，這稱為運算的封閉性。

而，顯然 點乘（結果是實數 ∈ ℝ） 和 叉乘 （結果是三維向量 ∈ ℝ³） 都不具有 封閉性，不能當做向量乘法！

不過，我們可以結合 點乘 和 叉乘，嘗試定義向量乘法：

ab = (a⋅b, a×b⋅k) = (xu + yv, xv - uy) ②

這個定義具有封閉性，如果，還能在該定義下，找到 滿足要求 ① 的 向量 i，那麼我們就可以正式採用這個定義了。

我們不妨將 平面中的 X軸 設為 ℝ，這樣 任意 實數 a 就對應 向量 (a, 0)，即，

a = (a, 0)

其中，

-1 = (-1, 0)

另一方面，因為 i 不屬於 X軸，所以 可以考慮 讓 i 屬於 Y軸，於是 i 與 Y軸 中的 某個點 (0, b) 對應，即，

i = (0, b)

使用 乘法定義②，再結合對於 i 的要求 ①，有，

i² = ii = (0, b)(0, b) = (00 + bb, 0b - b0) = (b², 0) = (-1, 0) = -1

顯然，還是因為 b² ≠ -1，使得 在 ② 下 沒有滿足 ① 的 b，於是，我們需要對 定義 ② 進行改進。其實，我們僅僅需要交換 ② 中的 加減號位置，即，

ab = (xu - yv, xv + uy)

就可以，得到：

i² = (00 - bb, 0b + b0) = (-b², 0) = (-1, 0) = -1

這時，由 -b² = -1 ，解的 b = ±1，OK！

不妨設 i = (0, 1) ，於是 我們找到了滿足 ① 的 i，這說明，調整後的定義有效，我們把它作為乘法的定義！

若，令 ā = (x, -y) 則，乘法定義為：

ab = (xu - yv, xv + uy) = (xu + (-y)v, xv - u(-y)) = (ā⋅b, ā×b⋅k) ②"

這裡 ā 和 a 關於 X 軸對稱，稱 ā 為 a 的共軛。

注：很容易 從 共軛 得到 a 關於 Y軸的 對稱 (-x, y) = -(x, -y) = - ā 。

有了乘法定義，我們就可以定義除為乘以倒數，即：

a/b = ab⁻¹

倒數 a⁻¹ 具有性質：

aa⁻¹ = 1

而，

aā = (x² + y², xy - yx) = (x² + y², 0) = x² + y² = a⋅a

可見，

a⁻¹ = ā/(a⋅a)

到這裡，ℝ² 中的 向量 就具有了 四則運算能力，可以當做數字，稱為 複數，同時，將 ℝ² 記為 ℂ，稱為複平面，X 軸依然稱為實軸，其中的點 就是 實數，而把 Y 軸稱為 虛軸，其中的點 稱為 虛數。

在數學上，ℝ² 也稱為歐氏（向量）空間，其中向量本來就具有 加減運算，而 除法是乘法的逆運算，因此，以上 讓其 變為 ℂ 的 主要工作是定義乘法，故，我們有，

小結論： 複數的本質就是定義了乘法的歐氏空間 ℝ² 中的向量。

對於 ℂ 中的任意 複數 z = (x, y)，利用前面推導的結論，有，

z = (x, y) = (x + 0, 0 + y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y0, y1) = (x, 0) + y(0, 1) = x + yi

這就是，我們熟悉的 複數一般表示，i 稱為 虛單位。其中，x 和 y 分別稱為 複數 z 的 實部 和 虛部，有，

x = Re(z) = (z + ż)/2

y = Im(z) = (z - ż)/(2i)

注：其實，1 = (1, 0) 和 i = (0, 1) 是 ℂ = ℝ² 的一組標準正交基，任何 一個 複數 z = (x, y) 都可以線性表示為：

z = x1 + yi = x + iy

這說明，複數一般表示，就是向量的線性表示。

將 複數 z 對應 向量 的長度 稱為 複數 的 模，記為 |z| = √(z⋅z) = √(x² + y²) ，將 向量 和 X 軸正方向 的 夾角，稱為 輻角，記為 Arg(z)。

若，令，r = |z|, θ = Arg(z) ，則 z 為：

這就是 複數的 三角表示。

又設， w = s(cos φ + i sin φ) 則，根據《三角學》知識 有，

zw = (r(cos θ + i sin θ) )(s(cos φ + i sin φ) ) = (rs)(cos θ cos φ - sin θ cos φ, i(cos θ sin φ + sin θ cos φ) = (rs)(cos( θ+φ) + isin(θ+φ))

可見，複數乘法的 幾何意義是 ④：模相乘，輻角相加。

另一方面，根據《高等數學》邁克勞林公式：

有，

進而，得到 尤拉公式：

這就是 複數的 指數表示。

驗證，乘法：

依然符合 結論 ④。

於是，我們得到 結論：

複數的本質就是 歐氏空間 ℝ² 中的向量，定義了，模相乘輻角相加，的乘法 從而 升級而成的數字。

複平面 ℂ 本質就是 歐氏空間 ℝ² 中定義了 乘法運算， 實單位 1 = (1, 0) 和 虛數單位 i = (0, 1) 本質是 ℂ 的 標準正交基，複數 z = x + yi 本質就是 向量的線性表示。

最後，回到開頭，複數的出現，使得：

（一元）多項式方程，必然存在 一個復根

這就是 代數基本定理。

（這是一個開放性問題，不同的人對複數的本質有不同的理解，數學家會給出非常深奧的答案，而小石頭只能在數學的淺灘潦草的勾勒一些浮沙，大家見笑了！各位聰明的條有大家有什麼高見呢？）

注：更深奧的答案是存在的，比如，

稱 ℂ 為複數域，它是 實數域 ℝ 的 擴域，是 一個代數閉域。

實數是一維直線上面的數，當我們要把數擴充套件到二維平面的時候，我們引入了i這個符號，定義就是1按照直線原點逆時針旋轉90度 所得的數。當有一天我們需要把數發展到三維平面的時候 我們再重新定義 一個常量。這個是跟著我們認知世界的程度加以用抽象的數學來完美解釋的需要而定義即可。所以複數就是二維平面是的點所對應的數，前提條件是我們定義用來描述客觀世界，而不是客觀世界真實存在。

複數是數在另一個緯度上的映像，在代數座標上的旋轉。好比鏡子裡的你，一個存在，一個是影子，但二者遵守嚴格的關係。

複數的本質是為了實數擴域，因為在實數內，無法處理負數開根，其實複數也可以在座標軸上表示為旋轉操作。

比如3*i*i = -3

就是“3”在數軸上旋轉了180度。

那麼3*i就是旋轉了90度。

其實沒有本不本質的概念，複數本來就是人定義出來解決某個特定問題。所以還是在於人們用它來做什麼。

複數的本質是把數字從一維的數軸擴充套件成二維的平面。虛數是Y軸，實數是X軸。任何一個複數可以理解為複數平面上的一個向量，寫成a+bi，a，b分別是在兩個數軸上的投影長。也可以寫成r(cosθ+isinθ)=re^(i θ)，r是向量的長度，θ是向量與實數軸的夾角。

我們知道，任何一個數可以用y=ax+b的形式表達（怎麼有點像方程式啊），

複數也可以用這種形式表達，

我們知道，任何一個數的平方都是大於或等於零的，

但在現實中，有些確是小於零，如無線電波的發射……

於是乎，就有人想出了平方也可以小於零，

老夫始終在這個問題上，持保留態度，因為如無線電波，會不會有部分轉換成我們未知的能量?

所以，老夫認為，複數的出現，有些過度自信，甚至會讓我們在尋找一些未知的物質晚了很多很多時間！

複數的本質是多維空間的描述。

比如用複數形式來表達向量，比如物理的速度和方向。

表示物體的運動位置變化。

表示空間變化。

看了一些作者的回答，我理解的複數的本質就是：地球人在平面數學的基礎上進化了，升維了，並且這種進化持續進行著！

答：複數的實質是在卡爾丹公式（i平方＝一1）中產生的，是對實數的拓展。複數域使得實數域內對加減乘除及乘方開方六種運算的不封閉問題得以解決。即實數拓展到複數域後，六種運算是封閉的，負數就可以平方了。

複數的產生，雖然是虛擬的，但解決了生產實踐中的很多很重要的問題。正如數學的每一次發展都極大的推動科學、生產、社會的進步一樣，複數產生與完備促進了數學的發展，更促進了人類社會的發展！

數的概念擴充套件

複數

形如z=a+bi（a,b均為實數）的數稱為複數，其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數單位。

當虛部等於零時，這個複數可以視為實數；當z的虛部不等於零時，實部等於零時，常稱z為純虛數。複數域是實數域的代數閉包，即任何複數數多項式在複數域中總有根。

複數是由義大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、尤拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。

中文名複數表示式z＝a+bi提出時間公元1世紀相關定理尤拉公式、棣莫佛定理命名者Rene Descartes

外文名complex number提出者Heron of Alexandria應用學科數學所屬集合無序集合

簡介 我們把形如z=a+bi（a，b均為實數）的數稱為複數，其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數單位。當虛部等於零時，這個複數可以視為實數；當z的虛部不等於零時，實部不等於零時，常稱z為純虛數。複數域是實數域的代數閉包，也即任何複數數多項式在複數域中總有根。 複數是由義大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、尤拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。

歷史 最早有關複數方根的文獻出於公元1世紀希臘數學家海倫，他考慮的是平頂金字塔不可能問題。

16世紀義大利米蘭學者卡爾達諾（Jerome Cardan，1501—1576）在1545年發表的《重要的藝術》一書中，公佈了一元三次方程的一般解法，被後人稱之為“卡當公式”。他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家，並且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等於40時，他把答案寫成

，儘管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，並使它們的乘積等於40。給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學》（1637年發表）中使“虛的數”與“實的數”相對應，從此，虛數才流傳開來。

數系中發現一顆新星——虛數，於是引起了數學界的一片困惑，很多大數學家都不承認虛數。德國數學家萊布尼茨（1646—1716）在1702年說：“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱蔽所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。然而，真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗，最終佔有自己的一席之地。法國數學家達朗貝爾（1717—1783）在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算，那麼它的結果總是a+bi的形式（a、b都是實數）。法國數學家棣莫弗（1667—1754）在1722年發現了著名的棣莫佛定理。尤拉在1748年發現了有名的關係式，並且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創了用符號i作為虛數的單位。“虛數”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的。挪威的測量學家韋塞爾（1745—1818）在1797年試圖給予這種虛數以直觀的幾何解釋，並首先發表其作法，然而沒有得到學術界的重視。

十八世紀末，複數漸漸被大多數人接受，當時卡斯帕爾·韋塞爾提出複數可看作平面上的一點。數年後，高斯再提出此觀點並大力推廣，複數的研究開始高速發展。詫異的是，早於1685年約翰·沃利斯已經在De Algebra tractatus提出此一觀點。

卡斯帕爾·韋塞爾的文章發表在1799年的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上，以當今標準來看，也是相當清楚和完備。他又考慮球體，得出四元數並以此提出完備的球面三角學理論。1804年，Abbé Buée亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點，即以來表示平面上與實軸垂直的單位線段。1806年，Buée的文章正式刊出，同年讓-羅貝爾·阿爾岡亦發表同類文章，而阿岡的複平面成了標準。1831年高斯認為複數不夠普及，次年他發表了一篇備忘錄，奠定複數在數學的地位。柯西及阿貝爾的努力，掃除了複數使用的最後顧忌，後者更是首位以複數研究著名的。

複數吸引了著名數學家的注意，包括庫默爾（1844年）、克羅內克（1845年）、Scheffler（1845年、1851年、1880年）、Bellavitis（1835年、1852年）、喬治·皮庫克（1845年）及德·摩根（1849年）。莫比烏斯發表了大量有關複數幾何的短文，約翰·彼得·狄利克雷將很多實數概念，例如素數，推廣至複數。

德國數學家阿甘得（1777—1855）在1806年公佈了複數的圖象表示法，即所有實數能用一條數軸表示，同樣，複數也能用一個平面上的點來表示。在直角座標系中，橫軸上取對應實數a的點A，縱軸上取對應實數b的點B，並過這兩點引平行於座標軸的直線，它們的交點C就表示複數 。像這樣，由各點都對應複數的平面叫做“複平面”，後來又稱“阿甘得平面”。高斯在1831年，用實陣列 代表複數 ，並建立了複數的某些運算，使得複數的某些運算也像實數一樣地“代數化”。他又在1832年第一次提出了“複數”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角座標法和極座標法加以綜合。統一於表示同一複數的代數式和三角式兩種形式中，並把數軸上的點與實數一一對應，擴充套件為平面上的點與複數一一對應。高斯不僅把複數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，並利用複數與向量之間一一對應的關係，闡述了複數的幾何加法與乘法。至此，複數理論才比較完整和系統地建立起來了。

經過許多數學家長期不懈的努力，深刻探討並發展了複數理論，才使得在數學領域遊蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗，顯現出它的本來面目，原來虛數不“虛”。虛數成為了數系大家庭中一員，從而實數集才擴充到了複數集。

隨著科學和技術的進步，複數理論已越來越顯出它的重要性，它不但對於數學本身的發展有著極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定力起到了重要作用，並在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據。

主要內容

定義

數集拓展到實數範圍內，仍有些運算無法進行（比如對負數開偶數次方），為了使方程有解，我們將數集再次擴充。

在實數域上定義二元有序對z=(a,b)，並規定有序對之間有運算"+"、"×" (記z1=(a,b),z2=(c,d))：

z1+ z2=(a+c,b+d)

z1× z2=(ac-bd,bc+ad)

容易驗證，這樣定義的有序對全體在有序對的加法和乘法下成一個域，並且對任何複數z，我們有

z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)

令f是從實數域到複數域的對映，f(a)=(a,0)，則這個對映保持了實數域上的加法和乘法，因此實數域可以嵌入複數域中，可以視為複數域的子域。

記(0,1)=i,則根據我們定義的運算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1，這就只通過實數解決了虛數單位i的存在問題。

形如

的數稱為複數（complex number)，其中規定i為虛數單位，且

（a，b是任意實數）

我們將複數

中的實數a稱為複數z的實部（real part）記作Rez=a

實數b稱為複數z的虛部（imaginary part）記作 Imz=b.

當a=0且b≠0時，z=bi，我們就將其稱為純虛數。

複數的集合用C表示，實數的集合用R表示，顯然，R是C的真子集。

複數集是無序集，不能建立大小順序。

複數的模

將複數的實部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該複數的模，記作∣z∣.

即對於複數

，它的模

共軛複數

釋義

對於複數

，稱複數

=a-bi為z的共軛複數。即兩個實部相等，虛部互為相反數的複數互為共軛複數(conjugate complex number）。複數z的共軛複數記作

。

性質

根據定義，若

(a，b∈R），則

=a－bi（a,b∈R）。共軛複數所對應的點關於實軸對稱。兩個複數：x+yi與x-yi稱為共軛複數，它們的實部相等，虛部互為相反數。在複平面上，表示兩個共軛複數的點關於X軸對稱，而這一點正是"共軛"一詞的來源----兩頭牛平行地拉一部犁，它們的肩膀上要共架一個橫樑，這橫樑就叫做"軛"。如果用z表示x+yi，那麼在z字上面加個"一"就表示x-yi，或相反[1]。

共軛複數有些有趣的性質：

複數的輻角

編輯

概述

在複變函式中，自變數z可以寫成

，r是z的模，即r = |z|；θ是z的輻角，記作： Arg（z）。在-π到π間的輻角稱為輻角主值，記作： arg（z）（小寫的A）。

釋義

任意一個不為零的複數

的輻角有無限多個值，且這些值相差2π的整數倍。把適合於-π≤θ<π的輻角θ的值，叫做輻角的主值，記作argz。輻角的主值是唯一的。

指數形式：

。

6運演算法則

編輯

加法法則

複數的加法法則：設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個複數。兩者和的實部是原來兩個複數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。兩個複數的和依然是複數。

即

乘法法則

複數的乘法法則：把兩個複數相乘，類似兩個多項式相乘，結果中i2= -1，把實部與虛部分別合併。兩個複數的積仍然是一個複數。

即

除法法則

複數除法定義：滿足

的複數

叫複數a+bi除以複數c+di的商。

運算方法：將分子和分母同時乘以分母的共軛複數，再用乘法法則運算，

即

開方法則

若zn=r(cosθ+isinθ），則

（k=0，1，2，3…n-1）

運算律

加法交換律：z1+z2=z2+z1

乘法交換律：z1×z2=z2×z1

加法結合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

乘法結合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)

分配率：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

i的乘方法則

i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1（其中n∈Z）

棣莫佛定理

對於複數z=r(cosθ+isinθ），有z的n次冪

zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)]　（其中n是正整數）

則

7分類

數的分類拓展到複數範圍後，我們對複數範圍的數集做以下分類

複數（a+bi）——集合符號C—實數（複數當b=0時）——集合符號R——有理數——集合符號Q（p/q)———①正有理數——集合符號Q+————正整數——集合符號N+或N*—————1—————質數—————合數————正分數———①0———①負有理數——集合符號Q-————負整數——集合符號Z-————負分數———②整數——集合符號Z————（自然數）——集合符號N————奇數————偶數———②分數——無理數———正無理數———負無理數—虛數（b≠0)——純虛數（a=0)——混虛數（a≠0）

注：①②代表對“有理數”兩種不同的分類方式。

8應用

系統分析

在系統分析中，系統常常透過拉普拉斯變換從時域變換到頻域。因此可在複平面上分析系統的極點和零點。分析系統穩定性的根軌跡法、奈奎斯特圖法（Nyquist plot）和尼科爾斯圖法（Nichols plot）都是在複平面上進行的。

無論系統極點和零點在左半平面還是右半平面，根軌跡法都很重要。如果系統極點

位於右半平面，則因果系統不穩定； 都位於左半平面，則因果系統穩定； 位於虛軸上，則系統為臨界穩定的。如果系統的全部零點和極點都在左半平面，則這是個最小相位系統。如果系統的極點和零點關於虛軸對稱，則這是全通系統。

訊號分析

訊號分析和其他領域使用複數可以方便的表示週期訊號。模值|z|表示訊號的幅度，輻角arg(z)表示給定頻率的正弦波的相位。

利用傅立葉變換可將實訊號表示成一系列週期函式的和。這些週期函式通常用形式如下的複函式的實部表示：

其中ω對應角頻率，複數z包含了幅度和相位的資訊。

電路分析中，引入電容、電感與頻率有關的虛部可以方便的將電壓、電流的關係用簡單的線性方程表示並求解。（有時用字母j作為虛數單位，以免與電流符號i混淆。）

反常積分

在應用層面，複分析常用以計算某些實值的反常函式，藉由復值函式得出。方法有多種，見圍道積分方法。

量子力學

量子力學中複數是十分重要的，因其理論是建基於複數域上無限維的希爾伯特空間。

相對論

如將時間變數視為虛數的話便可簡化一些狹義和廣義相對論中的時空度量 (Metric) 方程。

應用數學

實際應用中，求解給定差分方程模型的系統，通常首先找出線性差分方程對應的特徵方程的所有復特徵根r，再將系統以形為f(t) =e的基函式的線性組合表示。

流體力學

複函式於流體力學中可描述二維勢流(2D Potential Flow）。

碎形

一些碎形如曼德勃羅集合和茹利亞集(Julia set) 是建基於複平面上的點的。

實變初等函式

我們把數學分析中基本的實變初等函式推廣到復變初等函式，使得定義的各種復變初等函式，當z變為實變數x(y=0）時與相應的實變初等函式相同。

注意根據這些定義，在z為任意復變數時，

①．哪些相應的實變初等函式的性質被保留下來

②．哪些相應的實變初等函式的性質不再成立

復變指數函式

ea+bi=eaebi=ea(cosb+isinb)

複數的三角函式

證明：把yi代入泰勒級數，藉助

和

來化簡即可；

同理可得aix=cos(xlna)+isin(xlna)= (eix)lna

藉助eix=cosx+isinx可以方便地證明棣莫佛定理[2]。

探討一：

對於這個問題, 我覺得沒什麼"哲學"的. 數學引發出來的哲學問題不在這裡. 而關於計量單位制, 它實際上只是一種規定而已, 比如對於"千克"這個單位, 重要的不是"這個東西究竟有多重", 而是"這東西的質量跟參照物的比值有多大"(不知道的就去查查千克原器). 現在不談單位的問題, 因為它涉及到跟下文毫無關聯的數學內容(齊次函式和\Pi定理等等).下面來就事論事.先不談虛數單位的定義. 我們來看看資料是如何擴充的.整數抽象自日常的計數. 但是對於"半個饅頭"等等的計數問題, 整數無能為力. 把問題精確地寫出來, 就是: 多少個(相同的)饅頭加在一起是一個饅頭? 為此我們需要引入"半個饅頭". 換句話說, 我們需要引入方程2x=1的解. 從而我們從直觀上知道了什麼叫做"有理數". 負數的引入同樣是為了解這樣的一次方程, 不贅述.[注: 我們覺得有理數很好理解, 不過是因為我們習慣了而已. 數學常常要打破習慣, 從而看到不一樣的景色.]但是有理數究竟是什麼? 對於正整數, 我們可以從日常的經驗中抽象出來它的性質, 例如說"1是一隻羊, 一頭牛, 一個人......的共有的數量屬性"(這句話本身含義不清楚, 但我們先不去管它). 正的有理數可以透過"等分"來直觀地理解. 對於"零"和負數, 這種直觀認知就已經有點困難了; 回想一下羅馬人是如何對待零的. 為了彌補這種語義上的模糊帶來的缺陷, 數學家發明了嚴格的定義; 下面再講.對於無理數, 問題就更加嚴重, 因為日常計數問題中沒有它的對應物. 實際上, 正如我們所知道的, 最早的無理數來源於幾何度量問題: \sqrt2是最為人們熟知的無理數. 但是這依舊可以歸結為為方程尋找根. Pythagoras學派遇見\sqrt2就是因為他們要為方程x^2=2尋找根. 這樣, 我們從直觀上知道了根式的含義.由此立刻產生了問題: 很多具有整係數的二次方程是沒有根的(以及更高次的方程). 最簡單的例子就是x^2=-1. 在抽象思維還不發達的時期, 這種方程確實是沒有什麼意思. 但正如我們所知道的, 情況從Cardano的時期開始發生了變化. 這段時間內不斷地湧現出當時的數學家們無力解釋的物件, 而"-1的平方根"就是一個最明顯的例子. 為了使得三次方程有形式統一的求根公式, 不得不引入這個"毫無意義"的"虛數單位". 儘管意義不明確, 數學家們還是依靠虛數單位得到了一系列有意思的結果(當然, 很多時候它不過是一種形式上的運算; 只在實數的範圍內並非不可以進行, 只是會麻煩得多).[由此我們可以看到"為方程尋找根"實際上是一個比"定義圓周率"要抽象得多的問題, 因為後者是"客觀存在"的(現在不追究這是什麼意思, 下文再講), 而前者卻不一定有什麼現實對應物].我們知道Euler時期就已經對實數有了模糊的概念(他已經發現了很多跟e,\pi有關的結論), 但對於"虛數", Euler還是不能真正搞清楚, 儘管在形式上他得到了Euler公式e^{ix}=\cos x+i\sin x.[這個公式的含義實際上也不明確; 什麼叫把e自乘i次?]Dedekind等人嚴格地定義了實數, 至此人們總算是能夠用不引發歧義的語言來描述實數. 按照現在的觀點, 實數其實也只是一個思維物件, 十進位制小數和Dedekind分化等等不過是這個思維物件在現實中的實現. 而圓周率等等需要藉助幾何度量來定義的實數也可以納入這個邏輯框架之下了, 因為有了分析學的幫助後, 我們就能夠說清楚什麼是"曲線的長度"了.但是對於"虛數", 不得不承認, 我們還是感到困難, 因為它並沒有實在的對應物, 可偏偏在實際問題(流體力學, 傳熱學, 電學etc)之中有著重要的應用.怎麼才能夠為方程x^2=-1找到一個合理定義的"解"呢?我們當然可以透過實數域上的二維可除代數來定義複數. 但這樣似乎沒法做太多的推廣. 所以我們換一種方式來考慮問題. 這種方式能夠讓我們說清楚什麼是"新增代數方程的根".對於給定的域k, 考慮上面的多項式環k[x].[注: 回憶一下, 多項式環k[x]定義為無限迴圈群的係數在k中的(具有有限支撐的)群代數, 不應作為"多項式函式"來考慮.]對於一個不可約多項式f(x)\in k[x], 我們想要找到它的根. 為此, 考慮f(x)生成的理想I. 有不可約性, 它應當是極大理想, 所以商環K=k[x]/I是個域. 它包含了一個同k同構的子域, 所以可以看成是k的一個擴張. 進而, f(x)也可自然地看作是K上的多項式.K中的元素是等價類g(x)+I; 我們來特別地考慮類x+I. 根據商環的運算性質, 我們立刻得到f(x+I)=I. 換句話說, 在域K中, x+I是多項式f(x)的根. 至此, 我們找到了f(x)的一個根. 剩下的不過是透過不斷地擴充域來窮盡f(x)的所有根(根據多項式的基本性質, 它在任何域中的根的數目都不可能超過它的次數).這樣, 我們知道了"新增代數方程的根"的嚴格含義. 至於"有理數"的定義, 則要簡單得多; 無非就是整環的分式域而已.如果某域上的任何代數方程在這域中都有解, 則這域稱作代數閉的. 對於這類域, 研究其上的多項式是一件比較容易的事情; 實際上, 任何多項式都可以分解成線性因式的乘積(Bezout定理).回到複數的情形, 取k=\mathbb{R}, f(x)=x^2+1, 則得到地域擴張就是複數\mathbb{C}. 這個域是代數閉的; 這是所謂的"代數基本定理", 有很多很多的(代數的, 是分析的, 複分析的, 拓撲的,...... )證明, 但代數味道最濃的自然還是基於代數學的證明. 正因為\mathbb{C}是代數閉的, 它才在數學中扮演著舉足輕重的角色. 只舉最簡單的例子. 為了計算某個方陣的100次乘冪, 我們常常需要把它化為Jordan標準型, 而這必須要藉助複數來加以實現. 要是不透過複數, 則計算量會大得難以想象.說了這麼多, 才發現自己寫了很多似乎很"哲學"的話, 之後後面一部分是乾貨. 但假如前面的"哲學"能夠幫助一些人想清楚問題的話, 我也很欣慰.

探討二：令人困惑的數學定義之二 ——虛數單位i定義

拿負數來開平方有必要嗎？有必要！

但是這個問題的完整解答，遠不止於“定義：i^2=-1”。

一、筆者首先簡要地介紹有理數集：

1、我們有自然數集和加法運算，自然數集對加法運算封閉（兩個自然數做加法運算結果還是自然數）。

2、加法運算的逆是減法運算，但是自然數集對減法運算不封閉（不能保證任意兩個自然數做減法運算結果還是自然數）；透過定義了負數，把自然數集擴充為整數集；整數集對加法運算和減法運算都封閉（人們認可負數經歷了很長的過程，原因是認為負數沒有現實意義）。

3、乘法運算的逆是除法運算，整數集對乘法運算封閉，但是對除法運算不封閉；透過定義了分數，把整數集擴充為有理數集；有理數集對加法運算、減法運算、乘法運算和除法運算（除數非零）都封閉。

4、有理數集更嚴格的稱謂是“有理數域”，但是“域”的解釋需要抽象代數的內容，為了通俗起見，筆者就把“有理數域”稱為“有理數集”；以上的“集”都是集合的意思，就是同一類數的集合；比如自然數集、整數集。

二、萬物皆數與畢達哥拉斯定理：

1、古希臘時期的畢達哥拉斯學派認為”萬物皆數“並奉為教義，這裡的數指的是有理數；這種信念源於他們對自己構造的有理數集的自信，他們認為有理數集已經包含了所有的數。

2、隨後這個學派發現了”畢達哥拉斯定理“，即”勾股定理“，並用面積法給出了證明。

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3、如果”萬物皆有理數“的話，那麼直角三角形的斜邊也應該是有理數；但是畢達哥拉斯學派的希帕索斯（Hipasus)找到了這樣的例子並給出了證明：a=1，b=1，由a、b透過勾股定理確定的c不是有理數！有一種說法是Hipasus因為這個發現被逐出了學派，另一種說法是他遭到了學派的屠戮。

4、無論如何，有理數集中沒有這樣”c“，但是現實中確實存在這樣的c，那唯一的原因就是畢達哥拉斯學派創造的有理數集存在缺陷，沒有涵蓋所有的數！

5、透過新增開n次方運算，把有理數集擴充為實集（實集不是實數集，只是部分實數的集合，這裡的實集嚴格來說只是有理數集的n次代數擴張）。

6、實集對加法運算、減法運算、乘法運算和除法運算（除數非零）封閉，實集中的正數還對開n次方運算封閉，實集中的負數對開奇數次方運算封閉而對開偶數次方不封閉；特別的，√（-1）不在這個實集中，換言之在這個實集中沒有數的平方等於（-1）。

三、是新增定義的時候了嗎？

1、那是否應該新增定義”i^2=-1”或是“i=√（-1）”,把上述的實集做成一個更大的數集？

答案是人們認為沒有必要！

2、人們認為正數開方是有意義的，因為開方的結果在現實中有這樣的元算與之對應。正如√2，人們確實能找到一條長度不多不少恰好是√2的線段。

3、人們認為負數開方是沒有意義的，因為開方的結果在現實中沒有這樣的元素與之對應。當然筆者還說過，那個時代，人們甚至還不認可負數，因為在現實中沒有”負“的線段。³√（-2）=-³√（2）只是正數開方的一種”變形“；至於√（-1），那更沒有人關心有沒有東西與它對應了，因為它沒有現實意義。

四、三次、四次方程與求根公式：

1、所謂的方程，就是含有未知量的等式；未知量是數，方程就是代數方程；未知量是函式，方程就是函式方程（例如微分方程和積分方程）；方程的解，就是一個能使方程成立的量；代數方程的解是數，這樣的數稱為代數方程的根。

2、代數方程裡，人們比較關注多項式方程，因為這樣的方程與人們的生產生活密切相關；古典數學時期，數學家研究的方程也主要是多項式方程。下文出現的”方程“都特指”多項式方程“。

3、所謂的方程的求根公式，就是用方程的係數透過加減乘除和開方運算來構造根的式子。

4、一次方程和二次方程的求根公式很早就被發現了，人們致力於尋找三次和更高次方程的求根公式。

5、16世紀義大利數學家菲爾洛(Ferro)發現了缺二次項的、即形如x3+px+q=0的三次方程的求根公式。因為當時人們普遍不接受負數，所以實際上Ferro是把缺二次項的三次方程分成了三類：x3+px=q、x3=px+q、x3+q=px，p和q都是正數；他分別給出瞭解法。

6、有意思的是，當時的數學家之間流行”決鬥“（文藝復興時期的風氣？）。所謂的”決鬥“，就是相互要求對手解決自己提出的問題。所以Ferro把自己的三次方程求根公式作為決鬥時秘密武器，沒有發表。也因為這個求根 公式，Ferro在決鬥中屢屢獲勝，名聲鵲起。

7、Ferro死前，把自己的秘密武器傳授給了學生菲奧爾（Fior)和女婿兼繼承人納威（Nave）。

8、Fior也是一個爭強好勝的人，他向當時的數學家塔爾塔利亞（Tartaglia，這不是原名，意為口吃者，Tartaglia孩童時期被法國士兵用馬刀砍傷了臉變成口吃）提出挑戰。Tartaglia並不知道缺二次項的三次方程的求根公式，但是在挑戰的壓力下，竟然成功地推匯出了一般的求根公式！因此，Tartaglia在與Fior的決鬥中大獲全勝，因為後者並不會解形如x3+rx2+px+q=0的一般三次方程。Tartaglia名聲鵲起。

9、卡爾丹（Cardano）得知這件事後，多次乞求Tartaglia把求根公式告訴他。作為回報，Cardano許諾給予Tartaglia經濟上的援助。Tartaglia最終耐不住Cardano的軟磨硬泡和利益誘惑，把求根公式以一首晦澀難懂的語句詩的形式告訴了Cardano，並要求Cardano發誓保密。

10、後來，Cardano從Nave那裡瞭解到Ferro的求根公式，認為Tartaglia的求根公式本質上和Ferro的求根公式是一樣的（其實一般的三次方程透過一個變數代換就可以轉化為缺二次項的三次方程，待會大家就會看到）。

11、所以Cardano不顧自己的誓言，把求根公式傳授給了學生費拉里（Ferrari），Ferrari在此基礎上竟然發現了四次方程求根公式！

12、Cardano把三次方程求根公式和學生Ferrari的四次方程求根公式發表在了自己的著作《重要的藝術》（Ars magna）。Cardano這樣評論道：”Ferro在30年前就發現了這個法則，並把它傳給了Fior。是Fior向Tartaglia挑戰，使得Tartaglia有機會重新發現這一法則。Tartaglia在我的懇求之下把這個法則告訴了我，但Tartaglia保留了證明，我在獲得這種幫助之下找到了它的證明“。

13、接下來就是Tartaglia對Cardano的嚴厲控訴，譴責Cardano的背信棄義。憤怒的Tartaglia向Cardano提出挑戰，而Ferrari代替自己的老師接受了挑戰。因為Ferrari已經發現了四次方程的求根公式，所以大敗Tartaglia。Tartaglia名聲掃地，在爭吵和窮困中度過了晚年。

五、三次方程不可約的情況：

1、一般的三次方程為aX3+bX2+cX+d=0，透過變數代換X=x-[b/(3a)]（前文提及的），一般的三次方程可以轉化為缺二次項的三次方程x3+px+q=0，求解這個方程就可以了。

2、x^3+px+q=0的求根公式：

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這裡筆者就不給出求根公式的推導過程了。

3、注意到⊿要開平方，但⊿並不能保證一定大於0。也就是說，Cardano或是Tartaglia的用加減乘除和開方運算構造的求根公式裡，可能要面臨負數開平方的困境。

4、為了讓讀者更清晰地認識到矛盾所在，筆者舉一個例子：

三次方程x^3+px+q=0，p=-10，q=6。

函式y=x^3-10x+6的影象大致為

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函式曲線和x軸相交地點的x值，就是三次方程x^3-10x+6=0的根。

透過影象，我們可以清楚地看到這個三次方程有3個實根。

但是，⊿=(1/4)q2+(1/27)p3=-28.037<0！

5、也就是說，實係數的三次方程，對於⊿<0的情況，為了得到3個實根，根據求根公式，必須對負數開平方！這個結果對16世紀的數學家是難以接受的。

6、藉助負數開平方得到實根的過程，實在難以讓人滿意，所以Cardano試圖”修正“求根公式來避免這種情況。但是，所有的嘗試都失敗。Cardano無奈地把這種情況稱為”三次方程不可約“情況。

7、為了處理這種情況，Cardano引入了虛數單位i，定義i^2=-1，使得求根公式可以正常運作。

8、那麼這樣的”修正“是否存在呢？直到19世紀，天才數學家伽羅瓦（Galois）才用他開創性的群論工具才給出答案：不存在！也就是說：”藉助負數開平方得到實根的過程“是無法避免的！9 、這裡必須強調的是：二次方程的求解之所以沒有導致虛數i的引入，原因在於判別式⊿<0時方程確實沒有實數解，直觀地看就是函式曲線y=ax^2+bx+c與x軸確實沒有交點，人們不會有興趣更不會認為有意義而去為負數開平方動腦筋！

六、總結與反思：

1、數學似乎和所有人開了一個玩笑：當你認為有理數域完備的時候，你發現用自己證明的畢達哥拉斯定理居然發現了一大類怪胎，所以不得不把開方運算納入系統；當你認為求根公式能解決所有三次方程的時候，你發現三個明視訊記憶體在的實根居然要藉助負數開平方，所以不得不定義”i2=-1”；至於定義了”i2=-1”之後，給代數和分析帶來的諸多便利，那已經是後話。

2、這再次驗證了筆者的話：“沒有哪一位數學家，可以從一開始就預見他所定義創造的東西，能帶來多少方便快捷”，或是存在多少缺陷；數學家都是摸著石頭過河，一路上很多修修補補。課本中的斟字酌句的描述，未能表現出創造過程中的鬥爭、挫折，以及在建立一個客觀的結構之前，數學家所經歷的艱苦漫長的道路。

3、“i^2=-1”的故事，遠不是一個簡單的定義所能講述的.

探討三：複數最本質的特性是什麼？為什麼物理上需要，並且能夠如此頻繁地使用複數？樓上的答案都沒有提到這一點，複數最重要的性質是旋轉。也就是兩個複數的積的輻角等於各自輻角的和。如果沒有這一特性，複數在數學和物理上的地位不會像現在這麼重要。

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先從原題說起，從根本上來看，為什麼i是-1的平方根。如上圖複數構成一個平面，實軸和虛軸正交。-1位於實軸負半軸，輻角為π（180度）。開平方，按照前面說的輻角的性質，即是輻角減半，變為π/2，也即虛軸正半軸上的i的位置。另一個解是輻角為3π/2的-i，因為-1的輻角也可以是3π。或者反過來看，一個複數乘以i，就相當於逆時針旋轉π/2。那麼i^2=1ii，就是把1旋轉了2次π/2，正好落在-1上。舉一反三，現在大家明白如何從複數旋轉的角度，來說明為什麼負負得正了吧？

理解了這一點，就很容易明白，為什麼複數作為一個不那麼自然的，人為發明的數，能夠如此好地應用於物理了。比如極其重要的簡諧振動，可以看成複平面單位圓上，做勻速圓周運動的點，在實軸上的投影。既然是旋轉，那麼用時間的指數函式就可以表達了，並且求導非常方便。

探討四：首先 -1 可以是什麼？我們用最簡單的例子講，cos(\pi )=-1按照i的定義，i是-1的平方根，或者i\cdot i=-1，於是我們有：cos(\pi)=i\cdot i接著來：cos(\pi)=cos(\pi/2+\pi/2)=i\cdot i

如果你的代數感覺好，你馬上就覺得上面的式子有一些“代數味道”。是的，一個角度為\pi的旋轉，可以看作兩個角度為\pi/2的旋轉之和。i和i的乘法，也有類似的交換群的感覺。索性，我們把式子補齊：cos(\pi)=cos(\pi/2+\pi/2)=-1sin(\pi)=sin(\pi/2+\pi/2)=0

還記得三角恆等式麼：cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)

針對一個任意角度，把cos部分作為實部，把sin部分作為虛部，用三角不等式就可以構造出複數的乘法，這就是複數乘法的意義。改寫成：cos(a+b) + isin(a+b) = [cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)] + i[sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)]也就是教科書上看到的形式：z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1} + iy_{1}) \cdot (x_{2} + iy_{2}) = [(x_{1} x_{2}) - (y_{1} y_{2})] + i[(x_{1} y_{2}) - (x_{2} y_{1})]

如果你有興趣，請玩尤拉公式，去了解這種乘法計算中的各種有趣的地方。

至於i麼，其實就是複平面上的一個自然基。i的“全稱”是：i=[0, 1]^{T} =[cos(\pi/2), sin(\pi/2)]^{T}

小結一下：在實數上玩的時候（比如代數多項式的根），常常發現數不夠用，於是把實數擴張成複平面。複數（域）的運算限制在實軸（域）上都是成立的。i的平方所以是-1，這樣理解：平方是同一變換兩次合成的結果。把實數乘法單位元1變換成-1（加法群逆元），需要在複數域中表達為一個角度為\pi的旋轉變換，或者看作兩個角度為\pi/2旋轉變換的合成。因此，i只是一個\pi/2旋轉變換的結果。

我們剛才都是從代數在講。我們注意從分析上：cos(x)^{"} = -sin(x)sin(x)^{"} = cos(x)各種導數，都無非是在相位上變換；尤拉公式也能看出，乘除和指對數也都是在相位上變換；就不難理解為什麼那麼多物理現象需要用複數來描述了。

我覺得人類要描述一個事物及其發展的規律，需要一套類似於語言的體系或結構來精確描述。這個也是科學理論的終極目標，必需對一個事物的從生到死的過程和狀態精確描述。

所以數學結構要滿足封閉性，這樣才能在你的研究物件各種變換後還可以用你的結構描述。複數就是為了滿足運算的封閉性而出來的一個數系擴張。實數有序結構和代數結構，所以我們用實數做很測量的工作，複數它和實數一樣有代數結構，但沒有序結構，所以有一些特需很好的代數性質，所以有些很好的用途，比如解方程。

複數的本質是二維數，描述平面內的點運動軌跡。或者說是個向量 ，a+bi。描述3維空間運動，可以有3位複數，a+bi+cj。還可以是n維的複數，n維向量