矩陣的秩與行列式的關係：1、行列式為零意味著方陣不滿秩；2、矩陣中非0子式的最高階數就是矩陣的秩；3、超過矩陣的秩的任意階方陣行列式必為0。矩陣A的k階子式：即在m×n矩陣A中，任取k行k列( k≤m，k≤n)，位於這些行列交叉處的k2個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式。先在矩陣中的m行中任選k行，得到組合；再在矩陣中的n列任選k列，得到組合。將二者相乘，便是矩陣A的k階子式計算公式。現在我們就可以定義矩陣的秩：設在m×n矩陣A中有不為零的r階子式D，且所有r+1階子式（如果存在的話）均為零，那麼D稱為矩陣A的最高階非零子式，階數r稱為矩陣A的秩，記作R(A)。特別地規定了零矩陣的秩等於0。舉個例子，我們先假定一個3階矩陣S，由定義可得S不可能再有大於三階的子陣，那麼我們知道S的三階子陣只有一個|S|，若計算出|S|≠0，那麼S的秩就為3，記做R(S)=3；若是|S|=0，擴充套件資料1、矩陣中的任意一個r階子式不為0，且任意的r+1階子式為0，則階數r就叫作該矩陣的秩。就是對一個矩陣，存在某個r階行列式，值不為0，這個r階行列式就是對一個矩陣你畫r條橫線，r條豎線，這個橫豎線交叉的元素構成了一個新的數表，這個數表的行列式就叫作這個矩陣的r階子式。2、如果我們把矩陣進行初等行變換，將矩陣變換為一個行階梯形矩陣後，那麼行階梯形矩陣的非0行就是這個矩陣的秩。這是透過運算的角度來給出的矩陣的秩的定義，對矩陣進行初等行變換後得到的行階梯形矩陣的非0行的個數。3、從線性方程組的角度來給出的，我們可以把秩理解為一種約束，因為方程我們就可以理解為約束，當我們把矩陣看成齊次線性方程組的係數的時候，矩陣的秩就是這個方程組裡真正存在的方程的個數。4、秩就是向量組中獨立的向量的個數，其實和上述方程組的角度是差不多的。