關於矩陣的特徵向量和特徵值一事，最需要把握住的基礎概念是特徵方向(教材不提的)，在這個特徵方向上(這個方向完全由A決定，與x的取值無關)，由y=Ax得到的y與x是共線(同向或反向)的，而兩者之長度比為λ。一般教材中不提這個特徵方向，而是用特徵向量的方向來代表。這會導致學生以為只有這一個特徵向量才是特徵向量，其實在這個方向上有無數特徵向量。

如果有y與x共線的這個特殊情況，這時的x就被稱為特徵向量。有啥特的？就是因為在這個方向上y與x共線麼。同理，無論x,y為何，|y|與|x|總是有一個比值λ的，但那些比值都沒啥意思，只當y與x共線了，λ才能被冠以"特徵值"的榮譽稱號。其實特徵值真沒啥特的，要不是這個特別的方向，λ真沒人提。

在一個特徵方向上，x取任何模長都是特徵向量，這時，無論x如何，都有y=λx。這樣，在這個特別方向上，特徵向量就是無窮多的。但對一個n維矩陣(單位正交矩陣除外，那裡處處y=x)而言，這種特別的方向則往往是有限的。而在不同的特別方向上，λ往往是不同的(x取固定模長時，y往往是一個橢圓分佈，模長有變)。

所以，當我們考慮所有特徵向量時，我們要區分這裡講的是某個特徵方向上所有的特徵向量呢？還是指所有特徵方向。

一般現代教材把矩陣的特徵方向與特徵向量混為一談，有時會導致困惑。