由尤拉公式e^(ix)=cosx+isinx（e是自然對數的底，i是虛數單位）可以得到：

e^(πi)=cosπ+isinπ=-1。

e^ix=cosx+isinx的證明：

因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……

cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……

sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……

在e^x的展開式中把x換成±ix，所以e^±ix=cosx±isinx。

擴充套件資料：

尤拉公式的意義

1、數學規律：公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、稜數之間特有的規律

2、思想方法創新：定理發現證明過程中，觀念上，假設它的表面是橡皮薄膜製成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。

3、引入拓撲學：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化，而頂點數，面數，稜數等不變。

4、提出多面體分類方法：

在尤拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做尤拉示性數。尤拉定理告訴我們，簡單多面體f (p)=2。

由尤拉公式e^(ix)=cosx+isinx（e是自然對數的底，i是虛數單位）可以得到： e^(πi)=cosπ+isinπ=-1。 e^ix=cosx+isinx的證明： 因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展開式中把x換成±ix，所以e^±ix=cosx±isinx。