特徵根法僅實用於求關係式中僅含有An和An+1的數列的通項。 即把式子中的An和An+1都用一個字母x替換，就變成了一個關於x的方程式，解出x 情況1： 如果x有一個解，就原式兩邊減去這個x的值，然後兩邊都變為倒數（等式依然成立），這時就很容易看出規律來了 情況2： 如果x有兩個解，值分別為m和n，就用原式兩邊分別減去m得式子＊，再用原式兩邊分別減去n，得式子＃，然後用將兩式化簡，再用式子＊左邊除以式子＃左邊，式子＊右邊除以式子＃右邊，再左邊等於右邊，就很容易看出規律了！例：已知數列{an}中，a1=1，則a（n+1）=an+6/an+2。求該數列的通項公式【解】a（n+1）=(an+6)/(an+2)，解特徵方程：x=(x+6)/(x+2)，解得x=2或-3.a（n+1）=(an+6)/(an+2),兩邊減去2可得：a（n+1）-2=(an+6)/(an+2)-2,a（n+1）-2=(-an+2)/(an+2),(a（n+1）-2) =-(an-2)/(an+2).……①a（n+1）=(an+6)/(an+2),兩邊減去 -3可得：a（n+1）+3=(an+6)/(an+2)+3,a（n+1）+3=(4an+12)/(an+2),(a（n+1）+3)=4(an+3)/(an+2).……②①÷②可得：[(a（n+1）-2) / [(a（n+1）+3)/ =-1/4*[(an-2) /(an+3)],所以數列{(an-2) /(an+3)}是公比為-1/4的等比數列，首項為(a1-2) /(a1+3)=-1/4,所以(an-2) /(an+3)=(-1/4)* (-1/4)^(n-1),(an-2) /(an+3)= (-1/4)^n,解得：an=[3+2*(-4)^n]/[ (-4)^n-1].例：A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A（n+1）-6An，【解】特徵方程為：y²= 5y-6那麼，m=3,n=2,或者m=2，n=3於是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3An] (1) A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2An] (2)所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3) A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)消元消去A（n+1），就是An,An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.
特徵根法僅實用於求關係式中僅含有An和An+1的數列的通項。 即把式子中的An和An+1都用一個字母x替換，就變成了一個關於x的方程式，解出x 情況1： 如果x有一個解，就原式兩邊減去這個x的值，然後兩邊都變為倒數（等式依然成立），這時就很容易看出規律來了 情況2： 如果x有兩個解，值分別為m和n，就用原式兩邊分別減去m得式子＊，再用原式兩邊分別減去n，得式子＃，然後用將兩式化簡，再用式子＊左邊除以式子＃左邊，式子＊右邊除以式子＃右邊，再左邊等於右邊，就很容易看出規律了！例：已知數列{an}中，a1=1，則a（n+1）=an+6/an+2。求該數列的通項公式【解】a（n+1）=(an+6)/(an+2)，解特徵方程：x=(x+6)/(x+2)，解得x=2或-3.a（n+1）=(an+6)/(an+2),兩邊減去2可得：a（n+1）-2=(an+6)/(an+2)-2,a（n+1）-2=(-an+2)/(an+2),(a（n+1）-2) =-(an-2)/(an+2).……①a（n+1）=(an+6)/(an+2),兩邊減去 -3可得：a（n+1）+3=(an+6)/(an+2)+3,a（n+1）+3=(4an+12)/(an+2),(a（n+1）+3)=4(an+3)/(an+2).……②①÷②可得：[(a（n+1）-2) / [(a（n+1）+3)/ =-1/4*[(an-2) /(an+3)],所以數列{(an-2) /(an+3)}是公比為-1/4的等比數列，首項為(a1-2) /(a1+3)=-1/4,所以(an-2) /(an+3)=(-1/4)* (-1/4)^(n-1),(an-2) /(an+3)= (-1/4)^n,解得：an=[3+2*(-4)^n]/[ (-4)^n-1].例：A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A（n+1）-6An，【解】特徵方程為：y²= 5y-6那麼，m=3,n=2,或者m=2，n=3於是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3An] (1) A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2An] (2)所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3) A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)消元消去A（n+1），就是An,An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.