向量空間（vector space）的定義包含五個要素：集合 ，域 ，向量加法 ，數量乘法 ，還有 滿足的八條公理。這個定義裡的要素跟「拓撲」，「度量」，「範數」，「內積」都沒有關係。

度量空間（metric space）的定義包含兩個要素：集合 ，度量函式 。這個定義裡， 不需要有線性結構。在一般的度量空間裡， 這樣的表示式沒有意義。

一方面，從定義可以看出這兩種空間非常不一樣。另一方面，我們經常用到的空間同時具備這兩種結構（以及其他的很多結構）。例如歐幾里得空間 ，或者實分析裡的函式空間 。

假設域 為 或者 ，並在需要的時候考慮 上的標準拓撲。給定向量空間 。

如果 上帶有一個「拓撲」 使得向量加法和數量乘法連續（考慮相應的乘積拓撲）， 是一個「拓撲向量空間」（topological vector space）。如果 上帶有一個「範數」 ，向量空間 是一個「賦範向量空間」（normed vector space）。賦範向量空間自然帶上的拓撲結構使得 是一個拓撲向量空間。 範數還誘導了 上的一個度量 。加上這個度量結構， 是一個度量空間。如果這個度量空間是「完備」的， 叫做「巴拿赫空間」（Banach space）。如果 上帶有一個「內積」 的向量空間 是一個「內積空間」。（當 為任意一個域時，不一定可以在向量空間上定義內積。參考這個問題的討論：Definition of inner product for vector spaces over arbitrary fields。）內積空間上存在一個自然的範數 。加上這個範數， 是一個賦範向量空間（從而有自然的度量結構）。如果 是完備的， 叫做「希爾伯特空間」（Hilbert space）。