建議網上搜索一下。對數學系學生說來，以前數學的三大基礎課是高等代數，解析幾何，數學分析，俗稱老三高。現在則是新三高，近世代數，拓撲學，泛函分析。你問的就是這基礎部分。

點集拓撲學，有時也被稱為一般拓撲學，是數學的拓撲學的一個分支。它研究拓撲空間以及定義在其上的數學構造的基本性質。這一分支起源於以下幾個領域：對實數軸上點集的細緻研究，流形的概念，度量空間的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已經成文化了。透過這種可以為所有數學分支適用的表述形式，點集拓撲學基本上抓住了所有的對連續性的直觀認識。一、點集拓撲的起源點集拓撲學產生於19世紀。G.康托爾建立了集合論，定義了歐幾里得空間中的開集、閉集、導集等概念，獲得了歐幾里得空間拓撲結構的重要結果。1906年M.-R.弗雷歇把康托爾的集合論與函式空間的研究統一起來，建立了廣義分析，可看為拓撲空間理論建立的開始。二、點集拓撲的主要理論內容泛函分析的興起，希爾伯特空間和巴拿赫空間的建立，更促進了把點集當作空間來研究。數學分析研究的中心問題是極限，而收斂與連續又是極限的基本問題。為把收斂與連續的研究推廣到一般集合上，需要在一般集合上描述與點或與集合“鄰近”的概念。如何描述“鄰近”，可以用“距離”，但“距離”與“鄰近”並無必然的聯絡。1914年F.豪斯道夫開始考慮用“開集”來定義拓撲。對一個非空的集合X，規定X的每點有一個包含此點的子集作成的子集族，滿足一組開集公理（即仿照歐幾里得空間鄰域所具特性給出的一組性質）。該子集族中的每個集合稱為這點的一個鄰域。這就給出了X的一個拓撲結構。X連同此拓撲結構稱為一個拓撲空間。X的每點有鄰域，故可研究一點的鄰近，由此可仿照微積分的方法定義兩個拓撲空間之間的連續對映的概念。若一個對映連續，且存在逆對映，逆對映也連續，則稱此對映為同胚對映。具有同胚對映的兩個拓撲空間稱為同胚的（直觀地說即兩個空間相應的圖形從一個可連續地形變為另一個）。三、研究意義要證明兩個空間同胚，只要找到它們之間的同胚對映即可。在歐幾里得直線上，作為子空間，兩個任意的閉區間同胚；任意兩開區間同胚；半開半閉的區間[c，d]與[a,b]同胚。二維球面挖去一個點s2－p與歐幾里得平面K2同胚。要證明兩個拓撲空間不同胚，需證明它們之間不存在同胚對映。方法是找同胚不變數或拓撲不變性（即在同胚對映下保持不變的性質）；第一個空間具有某同胚不變數，另一個空間不具有，則此二空間不同胚。一般拓撲學中常見的拓撲不變性有連通性、道路連通性、緊性、列緊性、分離性等（見拓撲空間）。在歷史上F.豪斯多夫提出了分離空間；弗雷歇看出了緊性與列緊性有密切關係；L.S.烏雷松對緊空間進行了系統研究，且在拓撲空間可否變數化的問題上作出了貢獻；1937年H.嘉當引進了“濾子”的概念，能進一步刻畫一致收斂，使收斂的更本質的屬性揭示了出來；維數的問題是E.嘉當在研究皮亞諾曲線（一種可填滿整個正方形的“曲線”）時提出的，1912年H.龐加萊給出定義，由烏雷松等人加以改進。四、學好拓撲需要注意的1、熟練掌握最基本的定義、定理。因為證明某個命題，往往是從定義出發去證明的，而且點集拓撲學中出現的定義特別多，又有聯絡，因而熟記定義是學好拓撲學的關鍵；2、熟悉拓撲學中常用符號，並能正確書寫。點集拓撲學中符號多而且複雜，掌握常用數學符號的意義是必須的；3、證明某個命題，要證到什麼程度才算證完，要心中有數，每一步推理都要有根有據，根據只能是前面的定義、定理，有時也可參考一下集合的文氏圖；4、證明時用到的根據切不可將數學分析中的結論想當然地引入，因為數學分析中的實數空間是非常完美的度量（拓撲）空間，既是A1 ,A2的，又是T4的, 而要證的命題不一定具備這樣的條件。