下面簡單講一下一元三次方程求解，第一種方法就是卡丹的解法，第二是韋達的解法，第三是拉格朗日的解法。先講講卡丹的解法。任意一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，假定a非0，不然就是二次方程了，可以對方程兩邊同時除以a,然後令y=bx/(-3a),代入方程可以消去二次項，從而將方程化為y^3+py+q=0的形式。再令y=u+v,代入上方程，化簡得：u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0，這個方程與上個方程比較係數，提示我們可以令3uv=-p,則v=-3p/u,代入上一個方程，得到一個關於u的六次方程，不過這個方程是很容易解的，令u=t^3即可轉化為一個一元二次方程，這個方程我們有現成的求解公式可用，從而容易解出u,v,解出y，得出的結論跟卡丹公式是一樣的。卡丹的方法難點在於一般不容易想到令y=u+v以及3uv=-p這兩個變數代換上，一旦想到就勢如破竹了。再講講韋達的解法，我們中學都學過韋達定理，描述的是代數方程的根與係數之間的關係式。代數方程的根是對稱的，利用根的對稱性以及對稱性多項式理論韋達解決了三次以及四次方程求解的問題。拉格朗日方法是引入一組新的同解方程，稱為預解方程組，從而講三次四次方程轉化為一組同解代數方程組，解出這一系列方程組就能解出原方程。細節不補充了，手機打字還能接受，打公式簡直讓人無法忍受。以上這些方法在一元5次方程上全部吃癟了。等到學習近世代數，學習群論以及加羅華理論就能完全解決5次方程不存在求根公式的問題。