若m是一個合數,則存在GF(p)上的首1的m次不可約多項式,不是本原多項式.
證明:設m=qn,其中q>1是m的最小質因數.由m是合數,有n>1為m的最大真因數.
GF(p^m)的子域均形如GF(p^k),其中k為m的約數.
於是GF(p^m)的階數最大的真子域就是GF(p^n).
考慮r=(p^m-1)/(p^q-1)=(p^(qn)-1)/(p^q-1)=p^(q(n-1))+p^(q(n-2))+...+1為整數.
有r是p^m-1的約數,且r<p^m-1(因為p^q-1>1).
此外由q≥2,n≥2,可得q(n-1)≥2n-2≥n,有r>p^n.
GF(p^m)-{0}關於乘法構成一個p^m-1階迴圈群.
r是p^m-1的約數,於是其中存在r階元,設a是GF(p^m)-{0}中的一個r階元.
可知a不屬於GF(p^m)的任意真子域GF(p^k),否則a的階數≤p^k-1≤p^n-1<r.
因此GF(p^m)=GF(p)[a],a的極小多項式f(x)是首1的m次不可約多項式.
但r<p^m-1,a不是GF(p^m)的原根,故f(x)不是本原多項式.
即存在GF(p)上的首1的m次不可約多項式,不是本原多項式.
注:對特徵p>2,無論m>1是否素數,r總可取為(p^m-1)/(p-1)<p^m-1.
此時m是合數的條件是不必要的.
若m是一個合數,則存在GF(p)上的首1的m次不可約多項式,不是本原多項式.
證明:設m=qn,其中q>1是m的最小質因數.由m是合數,有n>1為m的最大真因數.
GF(p^m)的子域均形如GF(p^k),其中k為m的約數.
於是GF(p^m)的階數最大的真子域就是GF(p^n).
考慮r=(p^m-1)/(p^q-1)=(p^(qn)-1)/(p^q-1)=p^(q(n-1))+p^(q(n-2))+...+1為整數.
有r是p^m-1的約數,且r<p^m-1(因為p^q-1>1).
此外由q≥2,n≥2,可得q(n-1)≥2n-2≥n,有r>p^n.
GF(p^m)-{0}關於乘法構成一個p^m-1階迴圈群.
r是p^m-1的約數,於是其中存在r階元,設a是GF(p^m)-{0}中的一個r階元.
可知a不屬於GF(p^m)的任意真子域GF(p^k),否則a的階數≤p^k-1≤p^n-1<r.
因此GF(p^m)=GF(p)[a],a的極小多項式f(x)是首1的m次不可約多項式.
但r<p^m-1,a不是GF(p^m)的原根,故f(x)不是本原多項式.
即存在GF(p)上的首1的m次不可約多項式,不是本原多項式.
注:對特徵p>2,無論m>1是否素數,r總可取為(p^m-1)/(p-1)<p^m-1.
此時m是合數的條件是不必要的.